1 . 已知函数，，，
（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记）

2 . 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.

3 . 设是定义在上的增函数，，且满足：①任意，；②任意，有．
（1）求的值；
（2）求的表达式．

4 . 某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．

(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．

5 . 已知数列，都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.
（1）设数列、分别为等差、等比数列，若，，，求；
（2）设的首项为1，各项为正整数，，若新数列是等差数列，求数列 的前项和；
（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

6 . 某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：

其中，点为轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体，为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等.
（1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；
（2）车辆从经倒爬坡，定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：（该点与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率），其中的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为米,米,米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?

7 . 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 .

已知(a>b>0)的离心率e=, 过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设F1,F2为椭圆的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF1的内切圆半径r的最大值

9 . 对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）－g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）＝sinx（x∈R），g（x）＝cosx（x∈R）的差距；
（2）设f（x）＝（x∈[1, ]），g（x）＝mlnx （x∈[1, ]）．（e≈2.718）
①若m＝2，且||f（x），g（x）||＝1，求满足条件的最大正整数a；
②若a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，求实数m的取值范围．

10 . 如图，有一块平行四边形绿地，经测量百米，百米，，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设百米，百米．

（1）当点与点重合时，试确定点的位置；
（2）试求的值，使路的长度最短．