1 . 已知数列为正项数列，数列满足.
(1)试写出一个数列，使得为递增的等差数列；
(2)若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量X.
（i）比较与的大小关系，其中，并说明理由；
（ii）若，证明：.

2 .

阅读材料：直线（）上任意两点，，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.

已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：

   

(1)若该抛物线经过点，求m的值；
(2)在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……；
(3)该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.
(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；
(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.

3 . 给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，．
(1)当时，若，求所有满足条件的；
(2)当时，均为M中的元素，且，求k的最大值；
(3)当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值．

4 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

5 . 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，研究函数的单调性；
(3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系.

6 . 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离.
(1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？
(2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？
(3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.

7 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

8 . 若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．

9 . 临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

10 . 设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.
(1)若，求函数的准不动点；
(2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.