1 . 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．

2 . 某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为．
(1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差；
(2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率．

3 . 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：

年份编号x	1	2	3	4	5
地区生产总值y(百亿元)	14.64	17.42	20.72	25.20	30.08

(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ，
若，则.

4 . 我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：

(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）
(2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
(3)已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）

5 . 某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分．
(1)求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）；
(2)当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望．

6 . 近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于，实测的导航定位精度都是2~3m，全球服务可用性，亚太地区性能更优．现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析．
(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；
(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率．

7 . 已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.

8 . 五四来临之际，某中学组织了一场象棋比赛，现有甲乙两位学生打进决赛，决赛采用三局两胜制，已知甲每局获胜的概率为0.6.
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)设X为乙获胜的场次，写出X的分布列，并求出期望.

9 . 从2023年起，某市中考考试科目将改为“3科必考＋3科选考＋体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，满分都为100分．3科选考科目应在物理和生化（生物、化学合为一科）两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科，每科原始满分都为100分，所选的三科成绩，将由高到低分别按照100%，80%，60%的系数折算成最后分数，三科折算后的实际满分为100分，80分，60分，体育成绩为40分，中考满分为580分．已知甲，乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同.
(1)若甲、乙两名考生的中考考试科目和原始分数成绩单如下：

科目	语文	数学	英语	物理	生化	地理	体育
甲的分数	92	97	96	100	80	60	40
乙的分数	92	97	96	80	80	80	40

请分别计算甲、乙两名考生的中考总分；
(2)求甲考生在选考科目中选考历史的概率.

10 . 2022年的男足世界杯在卡塔尔举办，参赛的32支球队共分为8个小组，每个小组有4支球队，小组赛采取单循环赛制，即每支球队都要和同组的其他3支球队各比赛一场.每场比赛获胜的球队积3分，负队积0分.若打平则双方各积1分，三轮比赛结束后，积分从多到少排名靠前的2支球队小组出线（如果积分相等，还要按照其他规则来排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球队分在同一个组，且甲队与乙、丙、丁3支球队比赛获胜的概率分别为，，，与三支球队打平的概率均为，每场比赛的结果相互独立.
(1)某人对甲队的三轮小组赛结果进行了预测，他认为三场都会是平局，记随机变量X＝“结果预测正确的场次”，求X的分布列和数学期望；
(2)假设各队先后对阵顺序完全随机，记甲队至少连续获胜两场的概率为p，那么甲队在第二轮比赛对阵哪个对手时，p的取值最大，这个最大值是多少？