1 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合
和
，定义和集
，用符号
表示和集
内的元素个数.
(1)已知集合
，
，
，若
，求
的值；
(2)记集合
，
，
，
为
中所有元素之和，
，求证：
；
(3)若与都是由
个整数构成的集合，且
，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.(1)已知集合
，，，若，求的值；(2)记集合
，，，为中所有元素之和，，求证：；(3)若
与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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2024-06-07更新
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642次组卷
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3卷引用：湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期二模考试数学试题
2 . 若数列
满足：存在等差数列
，使得集合
元素的个数为不大于
，则称数列具有
性质.
(1)已知数列
满足
，
.求证：数列
是等差数列，且数列有
性质；
(2)若数列有
性质，数列
有
性质，证明：数列
有
性质；
(3)记
为数列
的前n项和，若数列
具有性质，是否存在
，使得数列具有
性质？说明理由.
满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.(1)已知数列
满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；(2)若数列
有性质，数列有性质，证明：数列有性质；(3)记
为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
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2024-04-10更新
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596次组卷
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4卷引用：湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题
3 . 已知动圆
过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知、两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为
，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、
，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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4 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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2024-04-02更新
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403次组卷
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3卷引用：湖南省慈利县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
5 . 如图，在四棱锥
中，四边形
是矩形，
是正三角形，且平面
平面，
，为棱
的中点，四棱锥的体积为
．
为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
为棱的中点，求证：平面；(2)在棱
上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
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2022-08-26更新
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5304次组卷
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26卷引用：湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二寒假作业检测数学试卷
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二寒假作业检测数学试卷湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题河北省沧州市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期8月联合调研数学试题山西省山西大附属中学2023届高三上学期8月模块诊断数学试题福建省厦门外国语学校2023届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期10月诊断调研测试数学试题（已下线）江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期中模拟数学试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题四川省资阳市安岳县安岳县周礼中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）河北省石家庄精英中学2023届高三上学期第四次调研数学试题云南省昆明市第三中学2023届高三上学期12月月考数学试题广东省韶关市武江区广东北江实验学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）福建省厦门双十中学2023届高三上学期10月考试数学试题（已下线）高二上学期期中复习【第一章 空间向量与立体几何】十大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题吉林省吉林市第四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题福建省漳州市第三中学2024届高三上学期10月月考数学试题吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题重庆市云阳县云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题广东省东莞市东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题重庆市九龙坡区渝高中学校2024届高三上学期第三次质量检测数学试题
名校
解题方法
6 . 如图，在四棱锥
中，底面是矩形．为
上靠近的三等分点，
为
上靠近的三等分点．求证：
平面
．
（2）设是
上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使
平面
成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
中，底面是矩形．
为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面．（2）设
是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
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2021-05-08更新
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2379次组卷
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6卷引用：湖南省怀化市沅陵县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
湖南省怀化市沅陵县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题广东省云浮市罗定市2023-2024学年高一下学期期中检测数学试题吉林省东北师大附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题江苏省连云港市赣榆第一中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）专题23 立体几何中平行的存在性问题-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）（已下线）第03讲 空间直线、平面的平行 (高频考点—精练）
名校
7 . 已知正实数集
，定义：
称为的平方集.记
为集合中的元素个数.
(1)若
，求集合
和
；
(2)若
，求
；
(3)求证：
，并指出取等条件．
，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数.(1)若
，求集合和；(2)若
，求；(3)求证：
，并指出取等条件．
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2024-09-05更新
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540次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
解题方法
8 . 在长方体
中，点E，F分别在
，
上，且
，
．
平面AEF；
(2)当
，
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
中，点E，F分别在，上，且，．
平面AEF；(2)当
，，求平面与平面的夹角的余弦值．
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2024-09-03更新
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561次组卷
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3卷引用：湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
解题方法
9 . 如图，已知
，直线
平面
，为
的中点．
平面
；
(2)若
，求证：平面
平面
．
，直线平面，为的中点．
平面；(2)若
，求证：平面平面．
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名校
10 . 如图，平行四边形中，
平分
，交
于点，交的延长线于点，连接
．
；
(2)若点是的中点．
①求证：
；
②若
，，求平行四边形的面积．
中，平分，交于点，交的延长线于点，连接．
；(2)若点
是的中点．①求证：
；②若
，，求平行四边形的面积．
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