1 . 已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.
   
(1)若，求证：；
(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.

2 . 函数与其导函数为，满足，其中；若，，其中，则下列不等式一定成立的有（       ）个
①
②
③
④

A．1

B．2

C．3

D．4

3 . 空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（             ）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若且，则∠BDC是锐角

A．②

B．①③

C．②④

D．②③④

4 . 如图，圆C：与圆O：内切于点A，当圆C沿圆O逆时针方向无滑动地滚动一周时，圆C上的定点P（开始在点A）运动的轨迹是一个三叶轮.已知圆C上的定点P按这种运动方式从点A开始运动（B是两圆的切点）.

(1)若，求点P的坐标；
(2)若，求点P的轨迹关于的参数方程.

5 . 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（     ）

A．米

B．米

C．米

D．米

6 . 已知过圆上一点的直线与该圆另一交点为为原点，记.
(1)当时，求的值和的方程；
(2)当时，，求的单调递增区间.

7 . 为了测量某座山的高度，某兴趣小组在该座山山顶处俯瞰山脚所在水平地面上不共线的三点，测得它们的俯角均为，查阅当地地图可知该三点间距离分别为，，，则山高为______．

8 . 为了优化某绿地（记为）的行走路径，现需要在，上分别选取两点，修建一条直路，使得平分的周长，已知，．则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）可以用数学模型来刻画．1807年，法国数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．若某种声音的模型是函数 ，.
(1)求函数在上的值域；
(2)若，试研究函数在上的零点个数，并说明理由．

10 . 某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.在过点的水平面上确定两观测点，在处测得的仰角为30°，在的北偏东60°方向上，在的正东方向30米处，在处测得在北偏西60°方向上，则（       ）

A．10米

B．12米

C．16米

D．18米