解题方法
1 . 已知函数
.
(1)用单调性定义证明：
在
上单调递增；
(2)若函数
有3个零点
，满足
，且
.
①求证：
；
②求
的值（
表示不超过
的最大整数）.
.(1)用单调性定义证明：
在上单调递增；(2)若函数
有3个零点，满足，且 .①求证：
；②求
的值（表示不超过的最大整数）.
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2 . 定义：给定函数
，若存在实数
、
，当
、
、
有意义时，
总成立，则称函数具有“
性质”.
(1)判别函数
是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数
（
且
）不具有“性质”；
(3)设定义域为
的奇函数具有“
性质”，且当
时，
，若对
，函数
有5个零点，求实数
的取值范围.
，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.(1)判别函数
是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；(2)求证：函数
（且）不具有“性质”；(3)设定义域为
的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
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解题方法
3 . 函数
，
(1)解关于的不等式
；
(2)若
，
①若
，求证
；
②画出
的图象．
，(1)解关于
的不等式；(2)若
，①若
，求证；②画出
的图象．
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解题方法
4 . 已知函数是定义在上的奇函数，当
时，
.
(1)求函数的解析式；
(2)①用定义证明函数在
上是单调递减函数；
②判断函数在上的单调性，请直接写出结果；
(3)根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数
的图象.
是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数
的解析式；(2)①用定义证明函数
在上是单调递减函数；②判断函数
在上的单调性，请直接写出结果；(3)根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数
的图象.
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解题方法
5 . 已知为定义在R上的偶函数，当
时，
.
(1)用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图象，并指出的值域；
(2)讨论直线
与图象的交点个数（不需证明）．
为定义在R上的偶函数，当时，.(1)用分段函数表示
时的解析式，作出在定义域内的图象，并指出的值域； (2)讨论直线
与图象的交点个数（不需证明）．
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6 . 设函数
，且
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在区间
上的单调性，并用函数单调性的定义证明结论；
(4)依据函数的性质，作出函数图象的示意图；
(5)若关于的方程
恰有三个实数解，写出实数
的取值范围（不用证明）
，且(1)求实数
的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)判断
在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明结论；(4)依据函数的性质，作出函数图象的示意图；
(5)若关于
的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不用证明）
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7 . 已知函数
.
(1)用函数单调定义研究在区间
上的单调性；
(2)判断函数的奇偶性，并证明；
(3)根据函数的单调性和奇偶性作出函数的图象，写出该函数的单调减区间.
.(1)用函数单调定义研究
在区间上的单调性；(2)判断函数
的奇偶性，并证明；(3)根据函数的单调性和奇偶性作出函数
的图象，写出该函数的单调减区间.
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解题方法
8 . 已知函数
(1)写出的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标
(2)判断在
区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值
(1)写出
的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标(2)判断
在区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值
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9 . 设函数
．
(1)证明是偶函数；
(2)指出函数的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
．(1)证明
是偶函数；(2)指出函数
的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．
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2024·全国·模拟预测
10 . 已知抛物线的方程为
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点
重合，平移后的抛物线记作
．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知
是抛物线的内接三角形（点
在直线
的下方），过
作抛物线的切线交于点
，再过作抛物线的切线分别交
于点
，记，
的面积分别为
，证明
为定值．
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．(1)写出平移过程，并求抛物线
的标准方程；(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
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