1 . 已知函数，其中.
（1）求证：；
（2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：.

2 . 已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点分别为，证明：；
(3)证明：.

3 . 已知函数，，其中常数．
(1)当时，写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)当时，方程有四个不相等的实根．
①求的乘积；
②是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数在定义域内有两个不同的零点，．
(1)求证：
(2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围．

5 . 已知函数，．
(1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若，解关于的不等式；
(3)证明：恰有两个零点m，，且．

6 . 已知函数，

(1)直接写出时，的最小值.
(2)时，在是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若，存在两个零点，求的取值范围.

7 . 已知指数函数满足．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若方程有4个不相等的实数解．
（i）求实数的取值范围；
（i i）证明：．

8 . 已知函数．若函数有两个不同零点，，
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．

9 . 对于函数，若实数满足，则称是的不动点．现设．
(1)当时，分别求与的所有不动点；
(2)若与均恰有两个不动点，求a的取值范围；
(3)若有两个不动点，有四个不动点，证明：不存在函数满足．

10 . 已知函数（）.
（1）当时，证明：；
（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明.