导数在研究函数中的作用练习题及答案-高中数学高二-组卷网

2024·浙江杭州·二模

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

利用导数求函数的单调区间（不含参）由导数求函数的最值（不含参）独立重复试验的概率问题服从二项分布的随机变量概率最大问题

名校

解题方法

利用二项分布概率公式求二项分布的分布列利用导数求解函数的最值

1 . 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球

次，红球出现

次．假设每次摸出红球的概率为

，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率

的估计值为

．
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为

，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为

，则

．
（注：

表示当每次摸出红球的概率为

时，摸出红球次数为

的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；

0	1	2	3

（ⅱ）在统计理论中，把使得

的取值达到最大时的

，作为

的估计值，记为

，请写出

的值．
(2)把（1）中“使得

的取值达到最大时的

作为

的估计值

”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数

构建对数似然函数

，再对其关于参数

求导，得到似然方程

，最后求解参数

的估计值．已知

的参数

的对数似然函数为

，其中

．求参数

的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

2024-06-04更新 | 154次组卷 | 6卷引用：山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题

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23-24高二下·吉林延边·期中

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

由导数求函数的最值（不含参）由递推关系证明等比数列数列新定义

名校

解题方法

利用导数解决恒能成立问题分类与整合思想

2 . 记

上的可导函数

的导函数为

，满足

的数列

称为函数

的“牛顿数列”.已知数列

为函数

的牛顿数列，且数列

满足

.
(1)证明数列

是等比数列并求

；
(2)设数列

的前

项和为

，若不等式

对任意的

恒成立，求t的取值范围.

2024-05-28更新 | 110次组卷 | 1卷引用：吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

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2024·安徽·三模

单选题 | 适中(0.65) |

用导数判断或证明已知函数的单调性导数新定义

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值

3 . 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若

为

上任意

个实数，满足

，则称函数

在

上为“凹函数”.也可设可导函数

在

上的导函数为

在

上的导函数为

，当

时，函数

在

上为“凹函数”.已知

，且

，令

的最小值为

，则

为（）

A．

B．

C．

D．

2024-05-16更新 | 481次组卷 | 3卷引用：福建省龙岩市上杭一中2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

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23-24高三下·云南·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）由导数求函数的最值（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题

名校

解题方法

“在”与“过”，求曲线y=f(x)的切线方程利用导数求解函数的最值

4 . 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程

的其中一个根r在

的附近，如图6所示，然后在点

处作

的切线，切线与x轴交点的横坐标就是

，用

代替

重复上面的过程得到

；一直继续下去，得到

，

，…，

.从图形上我们可以看到

较

接近r，

较

接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求

，若设精度为

，则把首次满足

的

称为r的近似解.
已知函数

，

.

(1)试用牛顿迭代法求方程

满足精度

的近似解（取

，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若

对任意

都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：

，

）

2024-04-02更新 | 699次组卷 | 8卷引用：浙江省舟山市舟山中学2023-2024学年高二下学期4月清明返校测试数学试题

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23-24高二下·广西·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

简单复合函数的导数由导数求函数的最值（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值利用导数解决恒能成立问题

5 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为

，其中

为参数．当

时，就是双曲余弦函数

，类似地我们可以定义双曲正弦函数

．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，

，

，请写出

，

具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当

时，

恒成立，求实数

的取值范围；
(3)求

的最小值．

2024-03-10更新 | 1089次组卷 | 16卷引用：广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷

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2024·全国·模拟预测

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）利用互斥事件的概率公式求概率利用对立事件的概率公式求概率独立重复试验的概率问题

解题方法

互斥事件概率的求法利用导数求解函数的最值

6 . 公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢

局，谁便赢得全部赌注

元．每局甲赢的概率为

，乙赢的概率为

，且每局赌博相互独立．在甲赢了

局，乙赢了

局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢

局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比

分配赌注．
(1)甲、乙赌博意外终止，若

，

，求甲应分得的赌注；
(2)记事件

为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当

，

时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率

；当

时，求事件

发生的概率的最大值．

2024-02-18更新 | 1621次组卷 | 5卷引用：第七章随机变量及其分布（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）

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23-24高三上·河北·期末

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求抽象函数的解析式由导数求函数的最值（不含参）错位相减法求和求离散型随机变量的均值

名校

7 . 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用