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1 . 篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是
和
，且每人、每次进球与否都互不影响.
(1)若
，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
(2)若
，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件
表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求
；（结果用含的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
和，且每人、每次进球与否都互不影响.(1)若
，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；(2)若
，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件
表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
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2 . 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
(1)已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；
(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为
．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，
（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为
．求的最大值点
；
（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：
，
．
时间 | 2023年12月 | 2024年1月 | 2024年2月 | 2024年3月 | 2024年4月 |
月份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量y/千辆 | 14 | 15 | 16 | 18 | 19 |
(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为
．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为
．求的最大值点；（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的
作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：
，．
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解题方法
3 . 已知等差数列
的前n项和为
，且满足
，
，则下列选项正确的有（ ）
的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）A． | B．数列是递增数列 |
| C．当n＝15时，取得最大值为225 | D． 的最小值为1 |
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4 . 已知直线
与双曲线 
分别相交于
两个不同的点， 
是双曲线上不同于 的一点，设直线 
的斜率分别为 
，则当 
取得最小值时，双曲线 的离心率为（ ）
与双曲线 分别相交于 两个不同的点， 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为（ ）A． | B． | C． | D．2 |
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解题方法
5 . 已知以
为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为
.点是双曲线上异于顶点的动点，若
是
的平分线上的一点，且
，则
的取值范围是_____________ .
为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是
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6 . 如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格，已知某质点从
出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为
，向上走的概率为
，向左走的概率为
，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达
，则可能的不同路径有__________ 条（用数字作答）；设按最短路径从到达的概率记为
，则当取得最大值的时候的取值为__________ .
出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达，则可能的不同路径有到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为
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解题方法
7 . 设是一个无穷数列的前
项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式
恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ）
是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ）| A．①和②都为真命题 | B．①和②都为假命题 |
| C．①为真命题，②为假命题 | D．①为假命题，②为真命题 |
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8 . 已知椭圆
的离心率为
，且过点
.过椭圆
上的点作圆
的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆
相切于点，两条切线与
轴分别交于
两点.的方程；
(2)
是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
(3)若椭圆上点
，求
面积的取值范围.
的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.
的方程；(2)
是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：(3)若椭圆上点
，求面积的取值范围.
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9 . 已知等差数列的公差
，数列
为正项等比数列，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（ ）A． | B． |
C．若 ，则 | D．若 ，则 |
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10 . 有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点．
(1)求；
(2)若
且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；
(3)若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有
次用了乙骰子的概率为
，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据
)
，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点．(1)求
；(2)若
且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；(3)若
且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据)
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226次组卷
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2卷引用：江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
