1 . 已知函数，且其导函数的图像过原点.
（1）若存在，使得，求的最大值；
（2）当时，求函数的零点个数.

2 . 已知函数
（1）若，试讨论的单调性；
（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.

3 . 随着国家改革的深入推进，对新能源的补贴正在逐年降低，在2020年全面结束在这一领域的补助.某企业为了保证正常发展，计划从今年起对每件投入相应的资金进行新技术的开发和应用.若某产品的成本为40元/件，其市场价格为元/件（），且该产品每月的生产数量（万件）与成反比例，若每件商品的投入为元，当产品的市场价格为50元/件时，生产销售量为20万件.（，）
（1）若，则为何值时，该工厂每月的利润最大，并求的最大值；
（2）每件产品投入的资金最多为多少元时，可使工厂每月利润至少达到20万元？（精确到0.1万元）

4 . 有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，，在半圆上，其余为绿化部分，设.

（1）记花圃的面积为，求的最大值；
（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.

5 . 已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明：.

6 . 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）当时，求的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由；
（3）当时，证明.

8 . 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在有且只有一个零点，求的范围.

9 . 已知函数，其中.                    
（1）讨论函数的单调性；
（2）记函数的极小值为，若成立，求实数的取值范围.

10 . 已知函数(b为常数)
（1）若b=1,求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1处的切线方程;
（2）若b≥2,对任意x₁,x₂∈[1,2],且x₁≠x₂,都有|f(x₁)﹣f(x₂)|>|g(x₁)﹣g(x₂)|成立,求实数b的值.