名校
1 . “以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数
的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数
，
，
，…，
，其中是在
处的切线与x轴交点的横坐标，是在
处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当
足够小时，就可以把的值作为方程
的近似解．若
，
，则方程的近似解
______ ．
的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解
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2 . 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若
是
的导函数，
是的导函数，则曲线
在点
处的曲率
．已知
，则曲线在点
处的曲率为________ ．
是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为
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名校
解题方法
3 . 著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列
满足
，则称数列为“牛顿数列”.已知函数
，数列为“牛顿数列”，
，且
，
，则
________ .
，若数列满足，则称数列为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，，且，，则
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4 . 著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数
，若数列
满足
，则称数列为牛顿数列，若函数
，
，且，则__________ .
，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则
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5 . 计算器计算
，
，
，
等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间
内可以多次进行求导数运算，则当
，且
时，有
．
其中
是的导数，
是的导数，
是的导数……．
取
，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为____ ，
精确到0.01的近似值为______ ．
，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中
是的导数，是的导数，是的导数……．取
，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为精确到0.01的近似值为
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名校
6 . 艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列
，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数
有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设
，已知，
，
的前
项和为
，则
__________ .
零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则
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2023-03-30更新
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518次组卷
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4卷引用：上海市七宝中学2023届高三下学期3月月考数学试题
解题方法
7 . 现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率
，若曲线
和
在
处的曲率分别为
，
，则
______ ；设余弦曲线
的曲率为K，则
的最大值为______
是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则的曲率为K，则的最大值为
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8 . 记
为函数的阶导数且
，
若存在，则称
阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近
阶可导，则可构造
（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算
在处的3次泰勒多项式为
=_________ ；
在
处的10次泰勒多项式中
的系数为_________
为函数的阶导数且，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算在处的3次泰勒多项式为=在处的10次泰勒多项式中的系数为
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2022-06-11更新
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1951次组卷
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4卷引用：广东省深圳市光明区高级中学等2022届高三下学期名校联考数学试题
广东省深圳市光明区高级中学等2022届高三下学期名校联考数学试题（已下线）专题6 “高数衔接”类型江苏省南京市宁海中学2022-2023学年高三下学期二月检测数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）
9 . 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设
是
的根，选取作为初始近似值，过点
作曲线的切线
，则与
轴的交点的横坐标
，称是的一次近似值，过点
作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标
，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列.
（1）请选出的次近似值与的
次近似值的关系式____________ （请填正确的关系式序号）.①
；②
；③
.（2）若
，取
作为的初始近似值，则的正根的二次近似值为______ .
是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列.（1）请选出
的次近似值与的次近似值的关系式；②；③.（2）若，取作为的初始近似值，则的正根的二次近似值为
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10 . 意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线
的解析式为
（
为自然对数的底数）.若直线
与双曲余弦曲线交于点
，
，曲线在，两点处的切线相交于点
，且
为等边三角形，则
________ ，
________ .
的解析式为（为自然对数的底数）.若直线与双曲余弦曲线交于点，，曲线在，两点处的切线相交于点，且为等边三角形，则
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