23-24高二下·全国·课前预习
1 . 知识点三 导数的运算法则
已知,为可导函数,且.
(1)______ .
(2)______ ,特别地,______ .
(3)______ .
已知,为可导函数,且.
(1)
(2)
(3)
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解题方法
2 . 曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量,曲率越大,曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率(其中表示函数在点M处的导数,表示导函数在点M处的导数).在曲线上点M处的法线(过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线)指向曲线凹的一侧上取一点D,使得,则称以D为圆心,以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆,因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好,且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切,所以又称此圆为曲线在此处的密切圆.
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大,求圆的方程;
(3)在(2)的条件下,在圆上任取一点P,曲线上任取关于原点对称的两点A,B,求的最大值.
(1)求出曲线在点处的曲率,并在曲线的图象上找一个点E,使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同;
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大,求圆的方程;
(3)在(2)的条件下,在圆上任取一点P,曲线上任取关于原点对称的两点A,B,求的最大值.
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3 . 已知函数在点处的切线均经过坐标原点,其中,,则( )
A. | B. | C. | D. |
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4 . 记函数的导函数为,已知,若数列,满足,则( )
A.为等差数列 | B.为等比数列 |
C. | D. |
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5 . 下列结论正确的是( )
A.函数在处的导数为 |
B.一个做直线运动的物体从时间到的位移为,那么表示时刻该物体的瞬时速度 |
C.物体做直线运动时,它的运动规律可以用函数表示,其中表示瞬时速度,表示时间,则该物体在时刻的加速度为 |
D.函数在处的导数的几何意义是点与点连线的斜率 |
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解题方法
6 . 定义函数的曲率函数(是的导函数),函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数,曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径,则下列说法正确的是( )
A.若曲线在各点处的曲率均不为0,则曲率越大,曲率圆越小 |
B.函数在处的曲率半径为1 |
C.若圆为函数的一个曲率圆,则圆半径的最小值为2 |
D.若曲线在处的弯曲程度相同,则 |
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解题方法
7 . 如图1,现有一个底面直径为高为的圆锥容器,以的速度向该容器内注入溶液,随着时间(单位:)的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,如图2所示,忽略容器的厚度,则当时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-04-10更新
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614次组卷
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4卷引用:江西省抚州市金溪县第一中学2024届高三下学期3月份考试数学试卷
8 . 已知函数,记的图象为曲线C.
(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线,求切线的斜率的最小值;
(2)求证:以曲线C上的两个动点A,B为切点分别作C的切线,,若恒成立,则动直线AB恒过某定点M.
(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线,求切线的斜率的最小值;
(2)求证:以曲线C上的两个动点A,B为切点分别作C的切线,,若恒成立,则动直线AB恒过某定点M.
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9 . 设函数与的定义域为与分别为函数与的导函数,若存在,满足且,则称函数与为“优美函数”.已知函数与.
(1)已知和,求证:和;
(2)当时,若函数与为“优美函数”,求的取值范围;
(3)当时,已知函数与为“优美函数”,求证:.
(1)已知和,求证:和;
(2)当时,若函数与为“优美函数”,求的取值范围;
(3)当时,已知函数与为“优美函数”,求证:.
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10 . 设,记,令有穷数列为零点的个数,则有以下两个结论:①存在,使得为常数列;②存在,使得为公差不为零的等差数列.那么( )
A.①正确,②错误 | B.①错误,②正确 |
C.①②都正确 | D.①②都错误 |
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