名校
解题方法
1 . 已知函数,.
(1)当时,求证:;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知,证明:.
(1)当时,求证:;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知,证明:.
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2023-11-30更新
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410次组卷
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3卷引用:河南省安阳市林州市第一中学2024届高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
2 . 设实系数一元二次方程①,有两根,
则方程可变形为,展开得②,
比较①②可以得到
这表明,任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上,与二次方程类似,一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根,则有③
(1)证明公式③,即一元三次方程的韦达定理;
(2)已知函数恰有两个零点.
(i)求证:的其中一个零点大于0,另一个零点大于且小于0;
(ii)求的取值范围.
则方程可变形为,展开得②,
比较①②可以得到
这表明,任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上,与二次方程类似,一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根,则有③
(1)证明公式③,即一元三次方程的韦达定理;
(2)已知函数恰有两个零点.
(i)求证:的其中一个零点大于0,另一个零点大于且小于0;
(ii)求的取值范围.
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2015·吉林·三模
解题方法
3 . 已知函数.
(1)求的最大值;
(2)设,是曲线的一条切线,证明:曲线上的任意一点都不可能在直线的上方;
(3)求证:(其中为自然对数的底数,).
(1)求的最大值;
(2)设,是曲线的一条切线,证明:曲线上的任意一点都不可能在直线的上方;
(3)求证:(其中为自然对数的底数,).
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 英国数学家泰勒发现了如下公式:,其中,为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题:
(1)证明:;
(2)设,证明:;
(3)设实数使得对恒成立,求的最大值.
(1)证明:;
(2)设,证明:;
(3)设实数使得对恒成立,求的最大值.
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2024高三·全国·专题练习
5 . 已知函数.
(1)若函数在上有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
(1)若函数在上有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
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解题方法
6 . 设函数.
(1)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,求的值;
(2)当时,证明:.
(1)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,求的值;
(2)当时,证明:.
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解题方法
7 . 如图,在正三棱锥中,,点满足,,过点作平面分别与棱AB,BD,CD交于Q,S,T三点,且,.(1)证明:,四边形总是矩形;
(2)若,求四棱锥体积的最大值.
(2)若,求四棱锥体积的最大值.
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8 . 已知函数
(1)讨论函数的极值点个数;
(2)证明:当时,.
(1)讨论函数的极值点个数;
(2)证明:当时,.
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名校
解题方法
9 . 已知函数有极值,与函数的极值点相同,其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时,函数在处的切线方程;
(2)通过计算用表示;
(3)当时,若函数的最小值为,证明:.
(1)直接写出当时,函数在处的切线方程;
(2)通过计算用表示;
(3)当时,若函数的最小值为,证明:.
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2024-04-02更新
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434次组卷
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2卷引用:江苏省苏州市部分高中2024届高三下学期3月适应性考试数学试题