1 . 如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，.

(1)试用与表示，；
(2)求证：为定值，并求此定值.

2 . 如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点．

(1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，．
①求证为定值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值．
(2)若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值．

3 . 如图，在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，点E是边AB的中点，点D是边AC上一点，BD，CE相交于点P，且．
   
(1)若，求实数的值；
(2)若，证明：．

4 . 如图，在中，已知，，，．

   

(1)若，证明：A，F，E三点共线；
(2)若AE，BD交于点F，求的值．

5 . 如图所示，在中，，，，.
   
(1)试用向量，来表示，；
(2)若，求证：D，O，N三点共线.

6 . 如图，在中，.设.

   

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.

7 . 如图：在中，，，与交于点，设.
   
(1)若，求，的值；
(2)在线段上取一点，线段上取一点，使得过点，设，求证：．

8 . 如图，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件．
   

9 . 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．

10 . 在中，已知，，P在线段BC上，且，Q是边AB（含端点）上的动点；

(1)若，O是AP中点，求证：C，O，Q三点共线．
(2)若存在点Q使得，求的取值范围及的最大值．