1 . 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．

2 . 在数列中，，，其中为给定的正整数.
(1)若为等比数列，，求；
(2)若为等差数列，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 在中，点D在边上，且．
(1)若平分，求的值；
(2)若成递增的等比数列，，求的面积．

4 . 已知等差数列的前项和记为，等比数列的前项和为，设，，.
(1)求数列的通项；
(2)设求的最大值及此时的值.

5 . 市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限为25年，月利率为．
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还元，最后一个还款月应还元，试计算该笔贷款的总利息．
(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半已知小张家庭平均月收入为万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批不考虑其他因素参考数据：．
(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由．

6 . 记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求正整数的值.

7 . 已知各项均为正数的数列{}满足（正整数
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和.

8 . 已知数列是首项为9，公比为的等比数列．
(1)求的值；
(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．

9 . 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）.
(1)当时，求的解析式；
(2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由

10 . 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若存在正整数，使得成立，求的值.