名校
1 . 在信息论中,熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量,又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里,“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度,因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是,比较不可能发生的事情,当它发生了,会提供更多的信息.由于一些其他的原因,把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量,这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特,但也用、、计量,取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如,投掷一次硬币提供了1的信息,而掷次就为位.更一般地,你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年,克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现,使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为,定义的信息熵,(,).
(1)若,试探索的信息熵关于的解析式,并求其最大值;
(2)若,(),求此时的信息熵.
(1)若,试探索的信息熵关于的解析式,并求其最大值;
(2)若,(),求此时的信息熵.
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2024-01-16更新
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1687次组卷
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7卷引用:广东省中山市中山纪念中学2024届高三上学期第三次模拟测试数学试题
广东省中山市中山纪念中学2024届高三上学期第三次模拟测试数学试题河北省2024届高三上学期大数据应用调研联合测评数学试题(已下线)考点15 数列中的数学文化 2024届高考数学考点总动员【练】河北省石家庄市十八中2024届高三上学期1月联考数学试题(已下线)压轴题概率与统计新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)
2 . 2022年11月8日,著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告,与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作,他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式:.已知数列的通项公式为,则其前9项的和等于( )
A.13280 | B.20196 | C.20232 | D.29520 |
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3 . 欧拉是瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一,在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理.如著名的欧拉函数:对于正整数n,表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,如,.那么,数列的前n项和为__________ .
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2023-05-22更新
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793次组卷
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4卷引用:山东省烟台市2023届高三二模数学试题
山东省烟台市2023届高三二模数学试题(已下线)第六篇 数论 专题2 数论函数 微点2 欧拉函数与Mobius函数黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(Ⅰ卷)(已下线)专题10 数列小题
4 . 斐波那契数列又称为黄金分割数列,在现代物理、化学等领域都有应用,斐波那契数列满足,.给出下列四个结论:
①存在,使得成等差数列;
②存在,使得成等比数列;
③存在常数t,使得对任意,都有成等差数列;
④存在正整数,且,使得.
其中所有正确结论的序号是________ .
①存在,使得成等差数列;
②存在,使得成等比数列;
③存在常数t,使得对任意,都有成等差数列;
④存在正整数,且,使得.
其中所有正确结论的序号是
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2023-05-05更新
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1474次组卷
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5卷引用:北京市朝阳区2023届高三二模数学试题
北京市朝阳区2023届高三二模数学试题北京卷专题17数列(填空题)(已下线)专题11 数列前n项和的求法 微点9 转化化归法求和上海市普陀区2024届高三上学期期中调研测试数学试题(已下线)等差数列与等比数列
名校
解题方法
5 . 麦克斯韦妖(Maxwell's demon),是在物理学中假想的妖,能探测并控制单个分子的运动,于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的.当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制.但他无法清晰地说明这种机制.他只能诙谐地假定一种“妖”,能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里.麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形.可以简单的这样描述,一个绝热容器被分成相等的两格,中间是由“妖”控制的一扇小“门”,容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击,“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格,而较慢的分子放入另一格,这样,其中的一格就会比另外一格温度高,可以利用此温差,驱动热机做功.这是第二类永动机的一个范例.而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论.设随机变量X所有取值为1,2,…n,且(,2,…n),定义X的信息熵,则下列说法正确的有( )
A.n=1时 |
B.n=2时,若,则与正相关 |
C.若,, |
D.若n=2m,随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m,且(j=1,2,…,m)则 |
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2023-04-30更新
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1444次组卷
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6卷引用:2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题
2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题(已下线)专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练重庆市2023届高三下学期5月月度质量检测数学试题(已下线)第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化(三)(已下线)专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测(人教A版2019)广东省中山市华辰实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
6 . 我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等,在《算学启蒙》中,最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题,其中记载有以下问题:“今有三角、四角果子垛各一所,共积六百八十五个,只云三角底子一面不及四角底子一面七个,问二垛底子一面几何?”其中“积”是和的意思,“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛,自上至下依次有1,3,6,10,15,…,个果子,“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛,自上至下依次有1,4,9,16,…,个果子,“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意,可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是( )(参考公式:)
A.4,11 | B.5,12 | C.6,13 | D.7,14 |
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2023-04-22更新
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919次组卷
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4卷引用:安徽省淮南市2023届二模数学试题
安徽省淮南市2023届二模数学试题安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷(已下线)专题10 数列通项公式的求法 微点10 数列通项公式的求法综合训练(已下线)专题11 数列前n项和的求法 微点8 分组法求和
7 . 已知定义在上的函数该函数称为黎曼函数.若数列满足,则下列说法正确的是( )
A. | B. | C. | D. |
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8 . 费马数是以数学家费马命名的一组自然数,具有形式:,.1732年,数学家欧拉算出不是质数,从而宣告费马数都是质数的猜想不成立.现设,,为数列的前n项和,则( )
A. | B. |
C. | D.的最大值为 |
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解题方法
9 . 高斯(Gauss)被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时,他是这样算的:,共有50组,所以,这就是著名的高斯法,又称为倒序相加法.事实上,高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称,为数列的前项和,则下列结论中,错误的是( )
A. |
B. |
C. |
D. |
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名校
解题方法
10 . 我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事:古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了,问阿基米德要什么奖赏?阿基米德说:“我只要在棋盘上的第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算,国王要给阿基米德粒米,这是一个天文数字.年后,又一个数学家小明与当时的国王下棋,也提出了与阿基米德一样的要求,由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事,所以没有同意小明的请求.这时候,小明做出了部分妥协,他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算,首先按照阿基米德的方法,先把米的个数变为前一个格子的两倍,但从第三个格子起,每次都归还给国王一粒米,并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来,第一个格子有一粒米,第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案,有四粒米;但如果按照小明的方案,由于归还给国王一粒米,就剩下三粒米;第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米,但如果按照小明的方案,就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看,每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了,就同意了小明的要求.如果按照小明的方案,请你计算个格子一共能得到( )粒米.
A. | B. | C. | D. |
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