1 . 已知是等差数列，是递增的等比数列.，，.
(1)求数列和的通项公式及；
(2)若数列满足，，
（ⅰ）求证：为等比数列；
（ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知数列的前项和为，，是与的等差中项.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围；
(3)设，且数列的前项和为，求证：.

3 . 已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)设，求的最大值．

4 . 已知等比数列中，，数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值

5 . 设数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求的前项和取最小值时的值；
(3)证明：

6 . 已知数列的前项和为，满足，数列满足，且．
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．

7 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设的前n项和为，，．
（ⅰ）当n是奇数时，求的最大值；
（ⅱ）求证：．

9 . 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明数列是等差数列，并求出；
（2）求；
（3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

10 . 已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．
①求“中程数数列”的前项和；
②若（且），求所有满足条件的实数对．