1 . 设数列
单调递增且各项均为正整数，数列
满足
，记数列的前
项和为
，数列
的前n项和为
．若存在正整数
，使得
，则称
为数列的信息熵．
(1)已知存在正整数
，满足
，
，2，…，，，
①求
（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
(2)请写出
，
，
，
四个表达式的大小关系，并说明理由．
单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．(1)已知存在正整数
，满足，，2，…，，，①求
（用含的表达式表示）；②证明：数列
的信息熵小于2；(2)请写出
，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．
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2 . 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列
是一个二阶等差数列，其中
．
(1)求
及的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n项和．
是一个二阶等差数列，其中．(1)求
及的通项公式；(2)设
，求数列的前n项和．
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3 . 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列
经过第一次“和扩充”后得到数列
；第二次“和扩充”后得到数列
．设数列
经过次“和扩充”后得到的数列的项数为
，所有项的和为．
(1)若
，求
；
(2)求不等式
的解集；
(3)是否存在数列
，使得数列
为等比数列？请说明理由．
经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．(1)若
，求；(2)求不等式
的解集；(3)是否存在数列
，使得数列为等比数列？请说明理由．
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2024-06-14更新
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659次组卷
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5卷引用：2025届甘肃省张掖市某校高三下学期6月模拟考试数学试题
2025届甘肃省张掖市某校高三下学期6月模拟考试数学试题山东省菏泽市2024届高三下学期模拟预测信息押题卷（一）数学试题河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考前热身联考数学试题（已下线）第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）-2（已下线）拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题（七大题型）
4 . 已知数列的前项和为，其中
，且
.
(1)求的通项公式.
(2)设
，求的前项和.
的前项和为，其中，且.(1)求
的通项公式.(2)设
，求的前项和.
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5 . 已知正整数列满足
， 且有
对任意正整数恒成立.
(1)求证: 对任意
，
均为偶数；
(2)记
，求证：
.
满足， 且有对任意正整数恒成立.(1)求证: 对任意
，均为偶数；(2)记
，求证：.
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名校
解题方法
6 . 已知
是曲线
上的点，
是数列的前项和，且满足
．
(1)证明：数列
是常数数列；
(2)确定
的取值集合
，使
时，数列是单调递增数列；
是曲线上的点，是数列的前项和，且满足．(1)证明：数列
是常数数列；(2)确定
的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
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解题方法
7 . 已知在正项数列
中，
，点
在双曲线
上.在数列
中，点
在直线
上，其中是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式并求出其前项和；
(2)求数列的前项和；
中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和.(1)求数列
的通项公式并求出其前项和；(2)求数列
的前项和；
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8 . 若项数为
的数列满足两个性质：①
；②存在
，使得
，并记
是数列
的最大项，
．则称数列具有性质
．
(1)若
，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若
，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若
，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足
的项
和
，在的余下的项中，总存在满足
的项
和
，使得
；（ⅱ）对于满足
的项和，在的余下的项中，总存在满足
的项和，使得．求满足上述性质的
的最小值．
的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．(1)若
，写出所有具有性质的数列；(2)数列
具有性质,若，求的最大项的最大值；(3)数列
具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
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9 . 对于数列
，定义
，满足
，记
，称
为由数列生成的“-函数”．
(1)试写出“2-函数”
，并求
的值；
(2)若“1-函数”
，求的最大值；
(3)记函数
，其导函数为
，证明：“-函数”
，定义，满足，记，称为由数列生成的“-函数”．(1)试写出“2-函数”
，并求的值；(2)若“1-函数”
，求的最大值；(3)记函数
，其导函数为，证明：“-函数”
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名校
10 . 已知无穷数列
（
，
），构造新数列
满足
，
满足
，…，
满足
（，
），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令
，
，……，
（，），若
为常数数列，则称为k阶等比数列.
(1)已知为二阶等差数列，且，
，
，求的通项公式；
(2)若为阶等差数列，
为一阶等比数列，证明：
为阶等比数列；
(3)已知
，令
的前n项和为，
，证明：
.
（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为k阶等比数列.(1)已知
为二阶等差数列，且，，，求的通项公式；(2)若
为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列；(3)已知
，令的前n项和为，，证明：.
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