1 . 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，a₁＝1．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明．

2 . 若无穷数列满足是公差为k的等差数列，则称为数列.
(1)若为数列，，，求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，，，为数列，求证：.

3 . 已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.

4 . 已知．
（1）求证：当时，；
（2）求证：，，．

5 . 已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，满足，且，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求．

6 . 数列的各项均为正数，其前项和为，，且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求数列的前项和.

7 . 已知等差数列的前项和为，且，，、、成等比数列，数列满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求证．

8 . 已知正项数列，且点在函数的图象上，为和的等比中项，.
（1）证明：数列，为等差数列；
（2）若，求.

9 . 已知数列的首项，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.

10 . 若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.
（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；
（3）已知正项数列满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.