2 . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.

3 . 已知函数，，各项均不相等的数列满足：，令.
（1）试举例说明存在不少于项的数列，使得；
（2）若数列的通项公式为，证明：对恒成立；
（3）若数列是等差数列，证明：对恒成立.

5 . 对任意，定义+，其中为正整数.
（1）求的值；
（2）探究是否为定值，并证明你的结论；
（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知动直线与圆相切，动点到、两点的距离之和与、两点到直线的距离之和相等.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，并使为线段的中点，且轨迹上的点满足.求证：、、成等差数列.

7 . 已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.

8 . 在中，角，，所对的边分别为，，.且满足.
求证：，，成等差数列；
若的面积为，其外接圆半径，求的值.

9 . 将数列的前项分成两部分，且两部分的项数分别是，若两部分和相等，则称数列的前项的和能够进行等和分割.
（1）若，试写出数列的前项和所有等和分割；
（2）求证：等差数列的前项的和能够进行等和分割；
（3）若数列的通项公式为：，且数列的前项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的.

10 . 已知数列中，，前n项和为，且.
（1）求；
（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由.