1 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列，且，，求数列和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由

2 . 某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:
(1)计算：；(请用数字作答)
(2)若，且，证明：；
(3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.

3 . 已知是等差数列，当时，其中、、、均为正整数，求证：．

4 . 已知数列中，其前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明．

5 . 已知在等差数列中，．
(1)求证：对一切小于的正整数都成立．
(2)类比上述性质，在等比数列中，若，可以得到什么结论？

7 . 若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．

(1)判断数列是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；
(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列．

8 . 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足.
(1)若a，b，c成公差为2的等差数列，求a；
(2)记△ABC的周长为L，求证：.

9 . 已知各项均为正数的等比数列.公比为q，前n项的和为.
(1)若.且成等差数列，求q的值：
(2)求证：，对任意正整数n恒成立；
(3)若，设数列满足.对任意正整数n.不等式恒成立，求实数入的取值范围.