1 . 已知是数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；
（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.

2 . 在中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点，…，，分别是线段，（，）的中点，设数列，满足：向量，有下列四个命题：
①数列是单调递增数列，数列是单调递减数列；
②数列是等比数列；
③数列有最小值，无最大值；
④若中，，，则最小时，
其中真命题是__________．

3 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，，的最小值记为，．
(1)若为，，，，，，，，，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值．
(2)设是正整数，证明：的充分必要条件为是公比为的等比数列．
(3)证明：若，，则的项只能是或者，且有无穷多项为．

4 . 设各项均为正数的等比数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证： ；
（3）是否存在正整数，使得对任意正整数均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．

5 . 已知数列满足，，数列的前n项和为,
，其中．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知数列的首项.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：对任意的；
（3）证明：.

7 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足，，（、不同时为），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且．
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足，，，，数列的前项和为，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若存在，求出、的取值范围；不存在， 说明理由.