1 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.

2 . 某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.
(1)求；
(2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值.

3 . 已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

4 . 记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

5 . 记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
(1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
(3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.

6 . 1．在下列三个关系①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．如果选择多个关系并分别作答，按照第一个解答给分.设数列的前n项和为，，对任意的，都有___；等比数列中，对任意的，都有，，且，
(1)求的前项和；
(2)是否存在，使得：对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由．

7 . 在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答．
问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且               ，判断是否存在唯一的，使得，且．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知等比数列的公比，且
（1）求的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
问题：设数列的前项和为，___________，数列的前项和为是否存在，使得

9 . 已知数列满足，且点在函数的图象上．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：
（2）若，数列的前n项和为，求证：．

10 . 已知等差数列满足：，从中依次取出构成等比数列，其中.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若对于任意，恒成立，求实数M的最小值.