1 . 已知正项数列前项之和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和为，证明：．

2 . 已知数列的前n项和为，，.
（1）求；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.

3 . 已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是.
（1）证明是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围.

4 . 已知数列和都是等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．

5 . 设数列的前项和为，若满足，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.

6 . 已知数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.

7 . 从①，②，③三个条件中任选一个补充到下面问题中，已知等差数列的公差为，前项和，递减的等比数列的公比为，若是方程的两个实数根，且，．
（1）求和；
（2）若_____________，求证：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

8 . 已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．

9 . 设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，对任意n∈N^*，都有2S_n=(n+1)a_n.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为T_n，求证：.

10 . 已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记，求证：数列的前项和.