1 . 对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点.已知二次函数，满足，且有两个不动点，记函数的对称轴为，求证：如果，那么.

2 . 已知双曲线.
(1)求证：是双曲线C的一条渐近线方程；
(2)求证：双曲线C的图像在不等式组，表示的平面区域内.

3 . 已知函数.
(1)（1）成立，求的取值范围；
(2)若在区间上有两个零点，求证：.

4 . 设不等式组表示的平面区域为，设内整数坐标点的个数为.设，   当时，求证:.

5 . 已知函数在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0<x₁<1<x₂<2.
（1）证明：a>0.
（2）求z=a+2b的取值范围.

6 . 设函数，其中．
（Ⅰ）若，当时，求证：；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的最小值．

7 . 已知函数（，且、）.设关于的不等式的解集为，且方程的两实根为、.
（1）若，完成下列问题：
①求、的关系式；
②若、都是负整数，求的解析式；
（2）若，求证: .

8 . 已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；
（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）对于区域中动点，求的取值范围；
（3）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与点的轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积值为定值.

10 . 已知函数.
(1)若函数在上存在两个极值点，求的取值范围；
(2)当时，求证：对任意的实数，恒成立.