名校
1 . 用一个半径为12厘米圆心角为
的扇形纸片PAD卷成一个侧面积最大的无底圆锥（接口不用考虑损失），放于水平面上．
（1）无底圆锥被一阵风吹倒后（如图1），求它的最高点到水平面的距离；
（2）扇形纸片PAD上（如图2），C是弧AD的中点，B是弧AC的中点，卷成无底圆锥后，求异面直线PA与BC所成角的大小．
的扇形纸片PAD卷成一个侧面积最大的无底圆锥（接口不用考虑损失），放于水平面上．（1）无底圆锥被一阵风吹倒后（如图1），求它的最高点到水平面的距离；
（2）扇形纸片PAD上（如图2），C是弧AD的中点，B是弧AC的中点，卷成无底圆锥后，求异面直线PA与BC所成角的大小．
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2019-12-12更新
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872次组卷
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8卷引用：上海市宜川中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题
上海市宜川中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题（已下线）重难点05 空间向量与立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）专题5.8 期末考前选做30题（解答题压轴版）-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）上海市浦东复旦附中分校2021-2022学年高一下学期5月学科反馈数学试题（已下线）8.1 基本立体图形2（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海市复旦中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点2 异面直线所成角（二）【培优版】
名校
2 . 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20
，高为30，杯内有20深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点
始终在桌面上，设直径
所在直线与桌面所成的角为
（图②）.
（1）求图②圆柱的母线与液面所在平面所成的角（用表示）；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值；
（3）现需要倒出的溶液体积不少于
，当
时，能实现要求吗？请说明理由．
，高为30，杯内有20深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图②）.（1）求图②圆柱的母线与液面所在平面所成的角（用
表示）；（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角
的最大值；（3）现需要倒出的溶液体积不少于
，当时，能实现要求吗？请说明理由．
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2019-11-10更新
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836次组卷
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4卷引用：上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题
上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题4.5 简单几何体【压轴题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）浙江省宁波市北仑中学2021-2022学年高一(2-10班)下学期期中数学试题（已下线）模块一专题6《简单几何体的表面积和体积》单元检测篇B提升卷
3 . 定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.
(1)在空间，求与定点
距离等于1的点所围成的几何体的体积；
(2)在空间，线段(包括端点)的长等于1，求到线段的距离等于1的点所围成的几何体的体积；
(3)在空间，记边长为1的正方形
区域(包括边界及内部的点)为
，求到距离等于1的点所围成的几何体的体积.
(1)在空间，求与定点
距离等于1的点所围成的几何体的体积；(2)在空间，线段
(包括端点)的长等于1，求到线段的距离等于1的点所围成的几何体的体积；(3)在空间，记边长为1的正方形
区域(包括边界及内部的点)为，求到距离等于1的点所围成的几何体的体积.
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名校
4 . 如图，在四棱锥
中，为
中点，侧棱
，底面为直角梯形，其中
，
，
平面
，
、
分别是线段、
上的动点，且
.
（1）求证：
平面；
（2）当三棱锥
的体积取最大值时，求到平面
的距离；
（3）在（2）的条件下求
与平面所成角.
中，为中点，侧棱，底面为直角梯形，其中，，平面，、分别是线段、上的动点，且.（1）求证：
平面；（2）当三棱锥
的体积取最大值时，求到平面的距离；（3）在（2）的条件下求
与平面所成角.
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5 . 如下图，在直角梯形中， 
， 
，点
为线段的中点，将
沿
折起，使平面
平面
，得到几何体
，如图2所示．
(1)求证：
平面
；
(2)求点到平面
的距离．
中， ， ，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．(1)求证：
平面；(2)求点
到平面的距离．
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2017-11-17更新
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2063次组卷
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5卷引用：河北省石家庄市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考数学（文）试题
名校
6 . 如图，已知三棱台
中，
，M是
的中点，N在线段
上，且
，过点
的平面把这个棱台分为两部分，求体积较小部分与体积较大部分的体积比值.
中，，M是的中点，N在线段上，且，过点的平面把这个棱台分为两部分，求体积较小部分与体积较大部分的体积比值.
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18-19高二下·上海·期中
名校
7 . 平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体中棱
两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论
中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中
表示斜边上的高，
分别表示内切圆与外接圆的半径）
中棱两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中表示斜边上的高，分别表示内切圆与外接圆的半径）| 直角三角形 | 直角四面体 | |
| 条件 |  |  |
| 结论1 |  | |
| 结论2 |  | |
| 结论3 |  | |
| 结论4 |  | |
| 结论5 |  |
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8 . 如图，在三棱柱中，
底面，
，
，
，
，
是线段的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
中，底面，，，，，是线段的中点.（1）证明：
平面；（2）求三棱锥
的体积.
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2019-01-16更新
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889次组卷
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4卷引用：【校级联考】河南省平顶山市2018－2019学年高一上学期六校联考数学期末试题
名校
9 . 如图，四棱锥中，
平面，
，
，
，
.是棱
上的一点，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
.多面体
的体积为
，求
.
中，平面，，，，.是棱上的一点，.（1）求证：平面
平面；（2）若二面角
的余弦值为.多面体的体积为，求.
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2020-05-24更新
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618次组卷
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2卷引用：重庆市第八中学2019-2020学年高三下学期第四次月考数学（理）试题
解题方法
10 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为
，球心为，北纬
的纬线所形成的圆设为圆
，且
是圆的直径，球面被经过球心和点
，
的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧
的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点
，在球心为
的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧
是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当
，
时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形
的面积；若不是，请说明理由．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．(2)如图2，点
，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．
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