1 . （1）如图1，正四棱锥
，
．
（ⅱ）
为
上一点，求
的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
，．
（ⅱ）
为上一点，求的最小值；（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
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2021-07-18更新
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1094次组卷
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5卷引用：福建省厦门双十中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
福建省厦门双十中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）第08讲 简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（已下线）重难点专题01 空间几何体测试-【同步题型讲义】（已下线）专题8.13 立体几何初步全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆实验中学2023-2024学年高一下学期7月期中考试数学试题
2 . 如图，已知四棱锥，
且
，
，
，
，
的面积等于
，E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥体积的最大值；
（Ⅱ）若
，
.
（i）求证：
；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
，且，，，，的面积等于，E是PD是中点.（Ⅰ）求四棱锥
体积的最大值；（Ⅱ）若
，.（i）求证：
；（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
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2021-08-07更新
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1216次组卷
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2卷引用：浙江省湖州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
解题方法
3 . 如图1所示，在四边形ABCD中，
，
，
，将△
沿BD折起，使得直线AB与平面BCD所成的角为45°，连接AC，得到如图2所示的三棱锥
．
(1)证明：平面ABD
平面BCD；
(2)若三棱锥中，二面角
的大小为60°，求三棱锥的体积．
，，，将△沿BD折起，使得直线AB与平面BCD所成的角为45°，连接AC，得到如图2所示的三棱锥．(1)证明：平面ABD
平面BCD；(2)若三棱锥
中，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．
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4 . 如图1，有一个边长为4的正六边形
，将四边形
沿着
翻折到四边形
的位置，连接
，
，形成的多面体
如图2所示．
(1)证明：
．
(2)若二面角
的大小为
，是线段上的一个动点（与
，
不重合），试问四棱锥
与四棱锥
的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．(1)证明：
．(2)若二面角
的大小为，是线段上的一个动点（与，不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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2022-06-27更新
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748次组卷
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3卷引用：湖北省十堰市2021--2022学年高一下学期期末数学试题
解题方法
5 . 如图①，在棱长为1的正方体
中，E是棱
上的一个动点．
(1)求证：三棱锥
的体积是定值；
(2)是否存在点E，使得
平面
，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段
（不包括两个端点）上有一个动点N，过点
、、
作正方体的截面
．
①判断截面的形状，并说明理由；
②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置．
中，E是棱上的一个动点．(1)求证：三棱锥
的体积是定值；(2)是否存在点E，使得
平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面．①判断截面
的形状，并说明理由；②当截面
的面积取得最小值时，求点N的位置．
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名校
解题方法
6 . 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面，
，
，
.
（1）若
，E为
的中点，求异面直线
与
所成角的大小；
（2）若，求二面角
的大小；
（3）试求四棱锥的体积
的取值范围.
中，底面是菱形，平面，，，.（1）若
，E为的中点，求异面直线与所成角的大小；（2）若
，求二面角的大小；（3）试求四棱锥
的体积的取值范围.
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2021-07-19更新
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1044次组卷
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5卷引用：上海市实验学校2020-2021学年高二下学期期末数学试题
上海市实验学校2020-2021学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题04 空间向量与立体几何的压轴题（二）-【尖子生专用】2021-2022学年高二数学考点培优训练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第04讲 空间向量的应用（教师版）-【帮课堂】上海市松江二中2021-2022学年高二上学期期中数学试题上海市上海师范大学附属外国语中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题
名校
7 . 如图，在四棱锥中，底面
为直角梯形，
，
，
，
，
为正三角形，点，分别在线段和上，且
．设二面角
为
，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）求三棱锥
的体积．
中，底面为直角梯形，，，，，为正三角形，点，分别在线段和上，且．设二面角为，且．（1）求证：
平面；（2）求直线
与平面所成角的正弦值；（3）求三棱锥
的体积．
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2021-08-07更新
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1080次组卷
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2卷引用：江苏省常州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
8 . 已知梯形中，，
，
，
，
分别是，
上的点，
，
，沿
将梯形翻折，使平面
平面
（如图）．
（1）当
时，①证明：
平面
；②求二面角
的余弦值；
（2）三棱锥
的体积是否可能等于几何体
体积的
？并说明理由．
中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．（1）当
时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；（2）三棱锥
的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由．
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2020-08-16更新
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1441次组卷
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7卷引用：浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
名校
9 . 如图，等腰梯形ABCD为圆台
的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
；
(2)已知
，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
；(2)已知
，，四棱锥C-BEDF的体积为3．①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
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2024-07-02更新
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632次组卷
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3卷引用：江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
10 . 如图，菱形的边长为
，
，
，将菱形沿对角线
折起，得到三棱锥
，点是棱
的中点，
．
（
）求证：
平面
．
（
）求证：平面
平面
．
（
）求三棱锥
的体积．
的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（
）求证：平面．（
）求证：平面平面．（
）求三棱锥的体积．
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