1 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.

2 . 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.

   

图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.
(1)若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
(2)据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一）

3 . 已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（       ）

A．截面的最大面积为

B．若，则直线与平面夹角的正弦值为

C．若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为

D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

4 . 已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（     ）

A．时，截面面积为	B．时，
C．随着的增大先减小后增大	D．的最大值为

5 . 对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（       ）

A．底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体

B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为

C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥

D．该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥

6 . 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（       ）

A．

B．

C．2

D．

7 . 已知一圆锥，其母线长为且与底面所成的角为，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（       ）（参考数值：，）

A．一个半径为的球

B．一个半径为与一个半径为的球

C．一个边长为且可以自由旋转的正四面体

D．一个底面在圆锥底面上，体积为的圆柱

8 . 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（     ）

   

A．

B．

C．

D．

9 . 在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为（       ）

A．5

B．8

C．9

D．10

10 . 如图①，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点．

(1)求证：三棱锥的体积是定值；
(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面．
①判断截面的形状，并说明理由；
②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置．