1 . 如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为底面圆的内接正三角形，且的边长为
，点
在母线
上，且
，
．
平面
，并求三棱锥
的体积：
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．
平面，并求三棱锥的体积：(2)若点
为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
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2023-07-04更新
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2760次组卷
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8卷引用：重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）安徽省宣城中学2023-2024学年高二上学期第一次(10月)月考数学试题山东省招远市第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期数学独立作业（2）（已下线）专题03 空间向量的应用压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二上学期第一次单元质量检测数学试题
解题方法
2 . 如图，在四面体
中，
是边长为2的等边三角形，
是直角三角形，点
为直角顶点.，
，
，
分别是线段
，，
，
上的动点，且四边形
为平行四边形，设
.
平面；
(2)若二面角
的大小为
，
，则
为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：
(3)当平面
平面
时，求四面体体积的最大值.
中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.
平面；(2)若二面角
的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：(3)当平面
平面时，求四面体体积的最大值.
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3 . 如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
，侧面
面，
，
，为
的中点.
(1)求证：面
面
；
(2)若二面角
的大小为，求
与面
所成角的正弦值；
(3)若平面与平面
所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积.
中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.(1)求证：面
面；(2)若二面角
的大小为，求与面所成角的正弦值；(3)若平面
与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积.
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2023-11-16更新
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1099次组卷
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2卷引用：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
解题方法
4 . 如图，在五面体
中，四边形的对角线
交于点，为等边三角形，
，
，
.
平面；
(2)若
，求五面体的体积.
中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.
平面；(2)若
，求五面体的体积.
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2024-02-03更新
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1375次组卷
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7卷引用：【名校面对面】2022-2023学年高三大联考（4月）文数试题
【名校面对面】2022-2023学年高三大联考（4月）文数试题（已下线）热点6-1 线线、线面、面面的平行与垂直（6题型+满分技巧+限时检测）（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点4 四面体体积公式拓展综合训练【培优版】（已下线）专题8.7 空间直线、平面的垂直（二）【八大题型】-举一反三系列（已下线）专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】-举一反三系列（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （1）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）第24题 垂直的证明（高一期末每日一题）
解题方法
5 . 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为
，则（ ）
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）A． | B． |
C．当 时， | D．当 时， |
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2024-01-26更新
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769次组卷
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5卷引用：江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题
江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点4 四面体体积公式拓展综合训练【培优版】（已下线）专题6 立体几何与数学文化【讲】河北省石家庄二中润德中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
6 . 如图，在长方体
中，点
在平面
的射影为．
(1)证明：为
的垂心．
(2)若
，且点
在平面的射影为点，求三棱锥
的体积．
中，点在平面的射影为． (1)证明：
为的垂心．(2)若
，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．
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2023-07-05更新
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627次组卷
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4卷引用：河北省保定市定州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
7 . 如图，在正三棱台
中，
，D，E分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若
与的面积比为3:8，
（i）证明：
（ii）求与平面
所成角的正弦值.
中，，D，E分别为，的中点. (1)证明：
平面；(2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且
，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8，（i）证明：
（ii）求
与平面所成角的正弦值.
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解题方法
8 . 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱
中底面长轴
，短轴长
，
为下底面椭圆的左右焦点，
为上底面椭圆的右焦点，
，P为
的中点，MN为过点
的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证：
平面PMN
(2)求三棱锥
的体积的最大值.
中底面长轴，短轴长，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为的中点，MN为过点的下底面的一条动弦（不与AB重合）.(1)求证：
平面PMN(2)求三棱锥
的体积的最大值.
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2023-02-25更新
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659次组卷
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3卷引用：福建省福州市八县（市）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题
名校
解题方法
9 . 如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，
．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．
(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设
（
），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当
为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为
?
．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．
(2)试探究当二面角
从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；(3)设
（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为?
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2023-02-26更新
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1063次组卷
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5卷引用：上海市控江中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
上海市控江中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海大学附属中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）第11章 简单几何体（压轴必刷30题专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题09 多面体与旋转体- 【暑假自学课】（沪教版2020）
10 . 如图，正四面体
，
(1)找出依次排列的四个相互平行的平面
，
，
，
，使得
，且其中每相邻两个平面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；
(2)若满足（1）的平面，，，中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体的体积．
， (1)找出依次排列的四个相互平行的平面
，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；(2)若满足（1）的平面
，，，中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体的体积．
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