1 . 阅读数学材料：“设
为多面体
的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 
，其中 
为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面
，平面 
，…，平面
和平面
为多面体的所有以为公共点的面. ”已知在直四棱柱
中，底面
为菱形.
. （角的运算均采用弧度制）
(1)若
，求四棱柱在顶点
处的离散曲率；
(2)若四棱柱在顶点处的离散曲率为
，求
与平面
的夹角的正弦值；
(3)截取四面体
，若该四面体在点
处的离散曲率为
与平面
交于点
，证明：
.
为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 ，其中 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面 ，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. ”已知在直四棱柱中，底面为菱形.. （角的运算均采用弧度制）(1)若
，求四棱柱在顶点处的离散曲率；(2)若四棱柱
在顶点处的离散曲率为，求与平面的夹角的正弦值；(3)截取四面体
，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：.
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名校
解题方法
2 . 在空间直角坐标系
中，己知向量
，点
．若直线
以
为方向向量且经过点
，则直线的标准式方程可表示为
；若平面
以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为
，一般式方程可表示为
．
(1)若平面
，平面
，直线为平面
和平面
的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为
，其中平面
经过点
，
，平面
，平面
，求实数m的值；
(3)若集合
，记集合中所有点构成的几何体为
，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．(1)若平面
，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为
，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；(3)若集合
，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
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2024-06-20更新
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449次组卷
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3卷引用：福建省部分学校教学联盟2024~2025学年高二上学期入学适应性检测数学试题
福建省部分学校教学联盟2024~2025学年高二上学期入学适应性检测数学试题浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷（已下线）专题4 立体几何中的新定义压轴大题（过关集训）
3 . 如图，在四棱台中，
平面，底面为平行四边形，
，且
分别为线段
的中点.
.
(2)证明：平面
平面
.
(3)若
，当
与平面所成的角最大时，求四棱台的体积
.
中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.
.(2)证明：平面
平面.(3)若
，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.
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2024-05-29更新
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1019次组卷
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7卷引用：福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷
名校
解题方法
4 . 如图（1），正三棱柱
，将其上底面ABC绕
的中心逆时针旋转
，
，分别连接
得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：
共面；
（ⅱ）求多边形
的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．
，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，（ⅰ）求证：
共面；（ⅱ）求多边形
的面积；(2)求该八面体体积的最大值．
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名校
5 . 如图，在三棱柱
中，底面是边长为2的等边三角形，
，D，E分别是线段
的中点，
在平面
内的射影为D.
平面
；
(2)若点F为棱
的中点，求三棱锥
的体积；
(3)在线段
上是否存在点G，使二面角
的大小为
，若存在，请求出
的长度，若不存在，请说明理由.
中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.
平面；(2)若点F为棱
的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段
上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.
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2024-05-08更新
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1277次组卷
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5卷引用：福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期9月开学适应性练习数学试卷
福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期9月开学适应性练习数学试卷浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题04 第八章 立体几何初步（2）-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题四川省遂宁市安居育才中学校（卓同教育集团）2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
解题方法
6 . 如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，且四棱锥
的体积为2.的高；
(2)若
，平面
平面
为锐角，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
中，是边长为2的正三角形，且四棱锥的体积为2.
的高；(2)若
，平面平面为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值.
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2023-11-21更新
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1789次组卷
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4卷引用：福建省莆田市锦江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
福建省莆田市锦江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题山西省2023-2024学年高三11月联合考试模拟预测数学试题（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（9大核心考点）（讲义）-2陕西省铜川市王益中学2024届高三下学期模拟预测理科数学试题
名校
7 . 如图，在矩形ABCD中，
，
，M是线段AD上的一动点，将
沿着BM折起，使点A到达点
的位置，满足点
平面
且点在平面内的射影E落在线段BC上.
平面
；
(2)求三棱锥
的体积的最大值；
(3)设直线CD与平面
所成的角为，二面角
的平面角为
，求
的最大值.
，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.
平面；(2)求三棱锥
的体积的最大值；(3)设直线CD与平面
所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.
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2023-08-02更新
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2719次组卷
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11卷引用：福建省厦门市厦门大学附属科技中学思明校区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
福建省厦门市厦门大学附属科技中学思明校区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高一下学期期末数学试题广东省肇庆中学大旺实验学校2023-2024学年高二上学期开学适应性检测数学试题湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点10 二面角大小的计算综合训练【培优版】（已下线）第八章 立体几何初步（压轴题专练）-单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）单元测试A卷——第八章?立体几何初步（已下线）第13章 立体几何初步 单元综合检测（重难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）第六章 立体几何初步（单元测试，新题型）-同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）（已下线）专题02 高一下期末真题精选（2）-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题08立体几何期末14种常考题型归类（2） -期末真题分类汇编（人教B版2019必修第四册）
8 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由
，直角梯形
和以
为圆心的四分之一圆弧
构成，其中
，
，
，且
，
，
，将平面图形
以
所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形
，在弧
上，
在线段
上，
在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设
（
），
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系
，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用
表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
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2023-07-12更新
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1159次组卷
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8卷引用：福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题03 基本立体图形、直观图、表面积与体积-期末真题分类汇编（新高考专用）（已下线）专题04 立体几何初步-期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）（已下线）重组2 高一期末真题重组卷（山东卷）B提升卷辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高一下学期第三次质量监测数学试卷
解题方法
9 . 如图所示，已知四棱锥
中，
，
，
，
，
，
(1)图（1）若点
为
的中点，求证：
平面
(2)图（1）求证：顶点在底面的射影为边
的中点．
(3)图（2）点
在
上，且
，求三棱锥
的体积．
中，，，，，， (1)图（1）若点
为的中点，求证：平面(2)图（1）求证：顶点
在底面的射影为边的中点．(3)图（2）点
在上，且，求三棱锥的体积．
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名校
10 . 如图，圆台
的轴截面为等腰梯形
，
，B为底面圆周上异于A，C的点.
内，过作一条直线与平面
平行，并说明理由；
(2)设平面∩平面
，与平面QAC所成角为，当四棱锥
的体积最大时，求
的取值范围.
的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点.
内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)设平面
∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.
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2023-02-25更新
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2607次组卷
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11卷引用：福建省泉州市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
福建省泉州市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学试题四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二下学期3月月考理科数学试题江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（已下线）第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结（2）安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题安徽“耀正优+”2024届高三名校上学期期末测试数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第三次适应性考试数学试题吉林省延边第二中学2023一2024学年高一下学期第二次阶段检测数学试题海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题安徽省2024届新高考预测数学模拟卷（四）
