1 . （本小题满分１２分）
在三棱柱
中，侧棱
，点
是
的中点，
．
（1）求证：
∥平面
；
（2）
为棱
的中点，试证明：
．
在三棱柱
中，侧棱，点是的中点，．（1）求证：
∥平面；（2）
为棱的中点，试证明：．
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2016-12-02更新
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938次组卷
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3卷引用：2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷
2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考文科数学试卷（已下线）2012-2013学年江西省上饶中学高二第一次月考理科数学试卷
名校
2 . 如图，在三棱锥
中，侧面
底面
，
，
是边长为2的正三角形，
，
分别是
的中点，记平面
与平面的交线为
.
平面
；
(2)设点
在直线上，直线
与平面所成的角为
，异面直线与
所成的角为
，求当
为何值时，
.
中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.
平面；(2)设点
在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.
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2024-06-10更新
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576次组卷
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8卷引用：江苏省南通一中2023-2024学年高二年级数学下学期第二次月考（含答案）
江苏省南通一中2023-2024学年高二年级数学下学期第二次月考（含答案）湖南师范大学附属中学2022届高三下学期月考(七)数学试题重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测（七）数学试题山西大学附属中学校2023届高三下学期3月模块诊断数学试题云南省红河州建水实验中学2022-2023学年高一下学期4月考试数学试题（已下线）专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）湖北省宜荆荆2024届高三下学期五月高考适应性考试数学试题 （已下线）立体几何与空间向量-综合测试卷B卷
名校
解题方法
3 . 如图，在三棱锥
中，平面
平面，
，
， E、F分别为棱、
的中点．
平面
；
(2)若直线与平面所成的角为
，直线与平面所成角为
，求二面角
的大小．
中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．
平面；(2)若直线
与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
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2024-01-14更新
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590次组卷
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13卷引用：专题强化二：异面角、线面角、二面角的常见解法 (2）
（已下线）专题强化二：异面角、线面角、二面角的常见解法 (2）（已下线）13.2.4 平面与平面的位置关系（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题20 平面与平面的位置关系-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）8.6.3平面与平面垂直（第2课时平面与平面垂直的性质定理）（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）第八章立体几何初步章节验收测评卷-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.6.3 平面与平面垂直（2）-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题8.16 空间角大题专项训练（30道）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题04平面与平面的位置关系（2个知识点8种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）（已下线）第07讲 空间直线﹑平面的垂直（二）-《知识解读·题型专练》（已下线）专题8.11 立体几何初步全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列（已下线）专题20 空间直线、平面的垂直-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）第八章 本章综合--提炼本章思想【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
4 . 如图，在四棱锥
中，
平面
，
，且
，
是
的中点．
；
(2)若
，直线
与直线
所成角的余弦值为
．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角
的余弦值．
中，平面，，且，是的中点．
；(2)若
，直线与直线所成角的余弦值为．（ⅰ）求直线
与平面所成角；（ⅱ）求二面角
的余弦值．
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名校
解题方法
5 . 如图，在正方体
中，点E，F分别为棱
，AB的中点．
四点共面：
(2)求异面直线
与BC所成角的余弦值．
中，点E，F分别为棱，AB的中点．
四点共面：(2)求异面直线
与BC所成角的余弦值．
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2023-11-08更新
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563次组卷
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5卷引用：13.2.2 空间两条直线的位置关系-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）
（已下线）13.2.2 空间两条直线的位置关系-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （1）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题8.4.2.1空间中直线与直线的位置关系练习（已下线）专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系-【寒假自学课】（人教A版2019）
2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 如图，是棱长为2的正方体，
为面对角线
上的动点（不包括端点），
平面
交
于点，
于点
．
(1)试用反证法证明直线
与
是异面直线；
(2)设
，将
长表示为
的函数
，并求此函数的值域；
(3)当最小时，求异面直线与
所成角的正弦值．
是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点．(1)试用反证法证明直线
与是异面直线；(2)设
，将长表示为的函数，并求此函数的值域；(3)当
最小时，求异面直线与所成角的正弦值．
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名校
解题方法
7 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
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2024-03-19更新
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491次组卷
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3卷引用：江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷
江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷（已下线）第六章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）江苏省南通市海门中学2023-2024学年高二下学期3月阶段练习数学试卷
名校
解题方法
8 . 如图，已知
分别是正方体的棱
的中点，且与
相交于点．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线与
所成角的大小．
分别是正方体的棱的中点，且与相交于点．(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线
与所成角的大小．
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2023-12-28更新
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635次组卷
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5卷引用：专题18 空间两条直线的位置关系-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）
（已下线）专题18 空间两条直线的位置关系-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （1）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）上海市育才中学2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试卷（已下线）专题8.9 空间角与空间距离大题专项训练-举一反三系列上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
解题方法
9 . 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为
，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长，记
（
且
），其展开式中含项的系数为
，含
项的系数为
.
①若
，对
成立，求实数
，
，
的值；
②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.
，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）(2)现单独研究棱长
，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.①若
，对成立，求实数，，的值；②对①中的实数
，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.
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解题方法
10 . 已知四棱锥
，底面为正方形，边长为
，
平面．平面
；
(2)若直线与
所成的角大小为
，求
的长．
，底面为正方形，边长为，平面．
平面；(2)若直线
与所成的角大小为，求的长．
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2023-12-13更新
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631次组卷
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8卷引用：13.2.3 直线与平面的位置关系（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）
（已下线）13.2.3 直线与平面的位置关系（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （1）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）上海市青浦区2024届高三上学期期终学业质量调研数学试题（已下线）第11讲 8.6.1 直线与直线垂直-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题7.2 空间中的位置关系【十大题型】（已下线）重难点12 立体几何必考经典解答题全归类【九大题型】（已下线）专题3.8 立体中的夹角和距离问题-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）
