1 . 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
，E是PD的中点.
（1）证明：直线
平面PAB；
（2）求直线
与平面
所成角；
（3）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为
，求二面角
的余弦值.
，E是PD的中点.（1）证明：直线
平面PAB；（2）求直线
与平面所成角；（3）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为
，求二面角的余弦值.
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2021-07-25更新
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1094次组卷
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2卷引用：天津市杨村一中、宝坻一中等四校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题
解题方法
2 . 如图所示，在四棱锥
中，底面为矩形，
平面，且
，则异面直线
与
所成角的大小为______ ；二面角
的大小为______ ．
中，底面为矩形，平面，且，则异面直线与所成角的大小为的大小为
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名校
3 . 如图，在四棱锥中，平面
平面
，四边形为矩形，
，
，
为
的中点．
（1）求异面直线
与
所成的角；
（2）求证：平面
平面
；
（3）求二面角
的余弦值．
中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（1）求异面直线
与所成的角；（2）求证：平面
平面；（3）求二面角
的余弦值．
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2021-07-04更新
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1397次组卷
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2卷引用：天津市和平区2020-2021学年高一下学期期末数学试题
4 . 如图，四棱柱
的底面为菱形，
底面，
，
，
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)若AA1=2，求二面角
的正弦值．
的底面为菱形，底面，，，，分别为的中点．(1)求证：
平面；(2)求证：平面
平面；(3)若AA1=2，求二面角
的正弦值．
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5 . 已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F分别为
和
的中点，D为棱
上的点．
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． 
；（2）当
为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
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2021-06-07更新
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59102次组卷
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145卷引用：天津市耀华中学2022届高三下学期统练11数学试题
天津市耀华中学2022届高三下学期统练11数学试题2021年全国高考甲卷数学（理）试题（已下线）考点33 空间角、空间向量及其应用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）考点27 利用空间向量求空间角-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题（已下线）考点35 空间向量与立体几何-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）专题11 立体几何-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题8.8 立体几何综合问题（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）湖南省邵阳市邵东市第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题（已下线）专题04 立体几何-2021年高考真题和模拟题数学（理）专项汇编（全国通用）（已下线）专题03 立体几何中的动点问题和最值问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（解答题专练）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）7.5 空间向量求空间角（精讲）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）卷03 空间向量与立体几何-单元检测（难）-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）河北省唐山市第五十九中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题03 空间向量的应用- 2021-2022高二上学期数学新教材配套提升训练（人教A2019选择性必修第一册）（已下线）第37讲 立体几何中的向量方法 （讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）山东省威海市乳山市第一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）考向24空间向量与立体几何-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题苏教版(2019) 选修第二册 名师精选 第六章 第二单元 空间向量的应用 A卷（已下线）考点10 立体几何与空间向量-备战2022年高考数学学霸纠错 （新高考专用）广东省佛山市南海区超盈实验中学2021-2022学年高二上学期第二次大测数学试题河南省鹤壁高中2021-2022学年高三上学期一轮复习质量检测（二）数学（理）试题江西省抚州市南城第二中学2021-2022年高二上学期第二次月考数学（理）试题（已下线）专题07立体几何线面位置关系（练）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）（已下线）专题08向量方法解决角和距离（练）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）（已下线）专题08向量方法解决角和距离（测）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）专题36 空间向量在立体几何中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）专题33 空间中线线角、线面角，二面角的求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）第3讲 立体几何中的向量方法（讲）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）河南濮阳市华龙区高级中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学理科试题山西省运城市康杰中学2021-2022学年高二下学期开学摸底数学试题（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）易错点10 立体几何-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（已下线）收官卷02 --备战2022年高考数学（理）一轮复习收官卷（全国甲卷） （已下线）收官卷02--备战2022年高考数学（理）一轮复习收官卷（全国乙卷）（已下线）专题25 盘点立体几何中最值问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题31 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】贵州省贵阳市五校（贵阳民中 贵阳九中 贵州省实验中学 贵阳二中 贵阳八中）2022届高三下学期联考（五）数学（理）试题黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题（已下线）易错点14 立体几何中的角-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）江苏省南京师范大学附属中学2022届高三下学期2月开学考试数学试题新疆维吾尔自治区疏勒县2022届高三第一次调研测试数学试题（已下线）专题21 空间向量与立体几何解答题20题-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（新高考专用）（已下线）专题25 真题优选重组第二卷-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（新高考专用）（已下线）专题32 理科数学高考真题重组模拟测试（三）-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲陕西省西工业大学附属中学2021-2022学年高二下学期第十次大练习数学试题（已下线）回归教材重难点03 空间向量与立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关（已下线）押全国卷（理科）第19题 空间向量与立体几何-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【理科数学】 （5月27日）陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考关门测试理科数学试题安徽省合肥市第八中学2022届高三下学期最后一卷保温理科数学试题（已下线）解密10 空间向量与立体几何（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（浙江专用）（已下线）专题40：空间角的向量求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（已下线）专题17 立体几何解答题2023版 北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第三章 章末培优专练粤湘鄂名校联盟2023届高三上学期第一次联考数学试题2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第2章 综合拔高练沪教版(2020) 选修第一册 同步跟踪练习 第3章 3.3~3.4 阶段综合训练沪教版(2020) 选修第一册 精准辅导 第3章 3.4（4）求角的大小（第2课时）（已下线）2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题（已下线）考向30 线线角、线面角、二面角与距离问题（四大经典题型）福建省福州第十八中学2022届高三上学期开学考试数学试题浙江省杭州市第四中学下沙校区2021-2022学年高二下学期期中数学试题山西省运城市景胜中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学（B）试题（已下线）第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）（已下线）2021年全国高考甲卷理科数学一题多解湖南省长沙市宁乡市四校联考2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题黑龙江省鸡西市英桥高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题江苏省连云港市灌南高级中学2021-2022学年高三上学期期中模拟数学试题（已下线）考向28利用空间向量求空间角（重点）（已下线）考向30 立体几何中的最值、翻折、探索性问题（重点）（已下线）第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精讲）-2山东省济宁市育才中学2022-2023学年高二上学期第一次学情检测数学试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2广东仲元中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题北京市平谷区北京实验学校2022-2023学年高二上学期期中练习数学试题广东省肇庆市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题8-4 非建系型：探索性平行与垂直证明及求角度（已下线）3.3空间向量的坐标表示（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）（已下线）专题07 空间问题降维处理，立几最值函数搞定浙江省湖州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题福建省福州第八中学2022-2023学年高二上学期12月适应性训练数学试题山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题山东省菏泽市巨野县第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题（已下线）专题16 立体几何中范围和最值问题沪教版(2020) 25天高考冲刺 双新双基百分百3河北省唐山市开滦第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-2（已下线）专题3 解答题题型（已下线）专题6 第3讲 立体几何中的向量方法江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）模块三 专题7 立体几何（已下线）重组卷03（理科）（已下线）重组卷05全国甲乙卷3年真题分类汇编《立体几何》解答题全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》解答题江苏省镇江第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题贵州省黔西南州兴义市第六中学2022-2023学年高二下学期第三次月考数学试题（已下线）专题10 空间向量与立体几何-11.4空间向量的应用江苏省南京市文枢高级中学2023届高三三模数学试题广东省东莞外国语学校2024届高三上学期第一次月考数学试题湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考(一)数学试题吉林省长春外国语学校2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题广东省七校联合体2024届高三上学期开学第一次联考（8月）数学试题山东省泰安市泰山区泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题山东省青岛市青岛第十六中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题江西省宜春市宜丰中学创新部2024届高三上学期第一次（10月）月考数学试题辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段测试数学试题山西省大同市第一中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题江苏省镇江市句容高级中学2023-2024学年高二上学期10月强基班学情调查数学试题安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）第05讲 空间向量及其应用（练习）（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】辽宁省沈阳市一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测数学试题（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第二课】山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中数学试题福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学数学试题湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题四川省达州外国语学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷贵州省铜仁市江口中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题重庆市江北区字水中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题湖北省武汉市华中师大第一附中2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题1号卷·A10联盟2022届全国高考第一轮总复习试卷数学（理科）试题（十五）（已下线）专题05 空间向量与立体几何（解密讲义）（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 ）-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点7 二面角大小的计算（二）【基础版】（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（分层练）（已下线）题型20 6类立体几何大题解题技巧（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)陕西省西安市铁一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（已下线）FHgkyldyjsx11（已下线）6.4 空间向量与立体几何（高考真题素材之十年高考）2（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-3（已下线）【一题多变】空间最值 向量求解上海市复旦中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷（已下线）五年全国理科专题16立体几何与空间向量解答题四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
名校
6 . 如图，在四棱锥中，平面，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面夹角的正弦值；
(3)设为棱上的点，满足异面直线
与所成的角为
，求
的长．
中，平面，，，，，．(1)证明：
；(2)求平面
与平面夹角的正弦值；(3)设
为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长．
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2021-09-25更新
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814次组卷
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3卷引用：天津市河西区梧桐中学2020-2021学年高二上学期第一次学情调研数学试题
名校
7 . 如图所示，在中，侧棱
底面
，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，
是的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）求直线
与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角
的大小.
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2021-05-12更新
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2950次组卷
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7卷引用：天津市南开区2021届高三下学期二模数学试题
天津市南开区2021届高三下学期二模数学试题（已下线）2021年高考数学押题预测卷（天津卷）02湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期期末数学试题安徽省六安市霍邱县第一中学2020-2021学年高一下学期段考数学试题（已下线）7.4 几何法解空间角（精练）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）第32讲直线与平面垂直1山东省实验中学2022-2023学年高一下学期阶段测试数学试题
名校
8 . 如图，已知三棱柱，平面
平面ABC，
，
，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：
（1）证明：
；
（2）求直线EF与平面
所成角的余弦值；
（3）求二面角
的正弦值
，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：
；（2）求直线EF与平面
所成角的余弦值；（3）求二面角
的正弦值
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2021-05-07更新
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4172次组卷
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7卷引用：天津市河西区2021届高三下学期总复习质量调查(一)数学试题
天津市河西区2021届高三下学期总复习质量调查(一)数学试题（已下线）2021年高考数学（理）押题预测卷（新课标III卷）03（已下线）【新东方】高中数学20210429—016【2021】【高一下】（已下线）专题05 立体几何初步（重点）-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（北师大版2019必修第二册）浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题专题12空间中直线、平面的平行与垂直关系（解答题）
解题方法
9 . 若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为_________ .
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名校
10 . 在四棱锥中，底面为平行四边形，
，
，O为中点，
平面，
，M为中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面；
（3）求二面角
的正切值.
中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点.（1）求证：
平面；（2）求证：
平面；（3）求二面角
的正切值.
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