1 . 如图，在斜三棱柱中，，等腰的斜边，在底面ABC上的投影恰为AC的中点.
   
(1)求二面角的正弦值；
(2)求的长；
(3)求到平面的距离.

2 . 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点．

(1)求证：//平面；
(2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值．
条件①：平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

3 . 如图所示，在三棱锥中，，．
   
(1)求二面角的余弦值；
(2)求三棱锥的体积．

4 . 如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．

   

(1)若点H在线段BD上，求AD的长；
(2)若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

5 . 如图，直四棱柱中，底面为矩形，且

(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线到平面的距离.

6 . 如图，四棱锥的底面是菱形，，，.

(1)求证：平面PBD；
(2)若E为的中点，求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，，，，，．

   

(1)当时，求直线与平面所成角的大小；
(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

8 . 在《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图，现将一矩形沿着对角线将折成，且点在平面内的投影在线段上．已知．
   
(1)证明：三棱锥为鳖臑；
(2)求二面角的正弦值．

9 . 如图，在等腰梯形ABCD中，.将△ACD沿着AC翻折，使得点D到点P，且.下列结论正确的是（　　）
   

A．平面APC⊥平面ABC

B．二面角的大小为

C．三棱锥的外接球的表面积为5π

D．点C到平面APB的距离为

10 . 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
   
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．