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解题方法
1 . 设三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:成立.我们把叫做基底,把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.已知三棱锥.以为坐标原点,以为轴正方向,以为y轴正方向,以为轴正方向,以同方向上的单位向量为基底,建立斜坐标系,则下列结论正确的是( )
A. | B.的重心坐标为 |
C.若,则 | D.异面直线AP与BC所成角的余弦值为 |
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2024-04-01更新
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181次组卷
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3卷引用:江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试(一)数学试卷
解题方法
2 . 一年一度的创意设计大赛开幕了.今年小王从世界名画《永恒的记忆》中获得灵感,创作出了如图1的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的,它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角(其中对应钟上数字3,对应钟上数字9).设的中点为,若长度为2的时针指向了钟上数字8,长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针(安装完秒针后,不考虑时针与分针可能产生的偏移;不考虑三根北针的粗细).
(1)若秒针指向了钟上数字4,如图2.连接、,若平面.求半圆形钟组件的半径;
(2)若秒针指向了钟上数字5,如图3.设四面体的外接球球心为,求二面角的余弦值.
(1)若秒针指向了钟上数字4,如图2.连接、,若平面.求半圆形钟组件的半径;
(2)若秒针指向了钟上数字5,如图3.设四面体的外接球球心为,求二面角的余弦值.
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3 . 《瀑布》(图1)是埃舍尔最为人所知的作品之一,图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上,荒唐至极,但又会让你百看不腻.画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.此时,他既是画外的观看者,也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现,后称“埃舍尔多面体”(图2)
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造,设边长均为2,定义正方形的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为,将极点,分别与正方形的顶点连线,取其中点记为,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥与.
(1)求异面直线与成角余弦值
(2)求平面与平面的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造,设边长均为2,定义正方形的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为,将极点,分别与正方形的顶点连线,取其中点记为,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥与.
(1)求异面直线与成角余弦值
(2)求平面与平面的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)
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4 . 球面几何学是在球表面上的几何学,也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球,过球面上一点作两条大圆的弧,,它们构成的图形叫做球面角,记作(或),其值为二面角的大小,点称为球面角的顶点,大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点,可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧,这三条劣弧组成的图形称为球面,这三条劣弧称为球面的边,三点称为球面的顶点;三个球面角称为球面的三个内角.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
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5 . 给出下列命题,其中不正确的命题是( )
A.若是空间向量的一个基底,则向量不共面 |
B.直线恒过定点 |
C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于,则直线与平面所成的角为 |
D.已知向量,若,则为锐角. |
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解题方法
6 . 苏州博物馆(图一)是地方历史艺术性博物馆,建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体,其中上层是正四棱柱,下层底面是边长为4的正方形,在底面的投影分别为的中点,若,则下列结论正确的有( )
A.该几何体的表面积为 |
B.将该几何体放置在一个球体内,则该球体体积的最小值为 |
C.直线与平面所成角的正弦值为 |
D.点到平面的距离为 |
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2023-11-10更新
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665次组卷
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10卷引用:河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省常德市部分学校2023-2024学年高二上学期11月联考数学试题湖北省荆州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题广西贵港市部分学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题河北省沧州市沧县中学等校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题河北省石家庄市第十八中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省湘潭市湘潭县第四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(已下线)黄金卷02(已下线)第四章 立体几何解题通法 专题三 参数法 微点3 参数法综合训练【培优版】
7 . 2021年11月第四届中国国际进口博览会在上海举办,此届博览会共有58个国家和3个国际组织参加国际展,127个国家和地区的近3000家参展商参加企业展.各式各样的商品首次亮相上海,其中一商品的部分结构可近似看做一个多面体,如图所示.在多面体中,底面为直角梯形,,侧面为菱形,平面平面,M为棱的中点.
(1)若上有一点N满足平面,确定点N的位置并证明;
(2)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(1)若上有一点N满足平面,确定点N的位置并证明;
(2)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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8 . 如图,,分别是圆台上下底面的圆心,是下底面圆的直径,,点是下底面内以为直径的圆上的一个动点(点不在上).
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的余弦值.
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2021-05-14更新
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924次组卷
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10卷引用:山西省太原市2021届高三三模数学(理)试题
山西省太原市2021届高三三模数学(理)试题江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测考前热身数学试题(已下线)一轮复习大题专练54—立体几何(二面角3)-2022届高三数学一轮复习黑龙江省佳木斯市第二中学2021-2022学年高三第三次月考数学(理)试题江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题上海市高桥中学2023届高三上学期9月月考数学试题四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年高三下学期第二次诊断性模拟考试数学(理)试题四川省成都玉林中学2023届高三下学期二诊考试理科数学模拟试题四川省泸县第四中学2023届高三第二次诊断性模拟考试数学(理科)试题四川省绵阳南山中学2023届高三下学期高考热身考试理科数学试题