名校
解题方法
1 . 如图所示三棱锥P-ABC,底面为等边三角形ABC,O为AC边中点,且
底面ABC,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94dd33adfe9adf9641dcf93f728f2c24.png)
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)若M为BC中点,求PM与平面PAC所成角大小(结果用反三角数值表示).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f3e126c16032892966489053f44b9048.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94dd33adfe9adf9641dcf93f728f2c24.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/11/2/59923a3e-9147-4c4f-871d-3d7d765a89c9.png?resizew=150)
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)若M为BC中点,求PM与平面PAC所成角大小(结果用反三角数值表示).
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2023-10-14更新
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296次组卷
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9卷引用:2022年上海高考练习数学试题
2022年上海高考练习数学试题(已下线)上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题上海市行知中学2023届高三上学期10月月考数学试题上海市松江区第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(已下线)第19讲 立体几何初步-3(已下线)专题10立体几何初步必考题型分类训练-1(已下线)重难点01 空间角度和距离五种解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(沪教版2020选修一+选修二)上海市洋泾中学2024届高三上学期10月月考数学试题上海市行知中学2024届高三上学期开学考数学试题
名校
解题方法
2 . 如图,在三棱柱
中,
平面ABC,
,
,
,点D,E分别在棱
和棱
上,且
,
,M为棱
的中点.
(1)求证:
;
(2)求直线AB与平面
所成角的正弦值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a8bfe2553e852df73185d017c0a62fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/615fc8790237a1b09af51d6bcad6b595.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/209acf15985d1ea1ad86fc4a37e38c0b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c122ca7141c43c15c783968f5f0dbc19.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2777840758e70e7dbbc18cef8f3d6d2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d88bf46ad08f9677c37eed1d0369329.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f4aca5534bce25acaeb7379deed8f8f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0761165f1176f3a5fe4f7b052832316d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11ddc92d84d188c66b435664a7e7b5a4.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/25/97a086b1-35a9-4ac9-8bff-e043dddff2c1.png?resizew=141)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8973bcb7d87303a0b5fba04a801019b9.png)
(2)求直线AB与平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa279d85f7cb724fc05fe2917b3b8f8c.png)
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2023-05-24更新
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1044次组卷
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20卷引用:上海市行知中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题
上海市行知中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题上海市奉贤中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题广东省惠州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题黑龙江省五校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题广东省深圳市第七高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题重庆市第八中学校2021-2022学年高二艺术班下学期第二次月考数学试题甘肃省武威市古浪县第二中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题(已下线)海南省华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量监测(期末)数学试题黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省七台河市勃利县高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题四川省南充高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学(理科)试题广东省湛江市第二十一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题广西南宁市第三中学2022-2023学年高二下学期期末考试试题(已下线)模块三 专题4 空间向量的应用1直线与平面的夹角、二面角 B能力卷(已下线)模块三 专题5 直线与平面的夹角、二面角 B能力卷 (人教B)广西玉林市第十一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题河南省新乡市长垣市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题天津市滨海新区实验中学滨海学校2024届高三上学期期中质量调查数学试题(已下线)通关练04 空间向量与立体几何大题9考点精练(41题)- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
3 . 如图,在四棱锥
中,
平面
,正方形
的边长为
,设
为侧棱
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/18/855c2ab2-ef29-48a5-aaa5-46689340ff22.png?resizew=146)
(1)求正四棱锥
的体积
;
(2)求直线
与平面
所成角
的大小.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0585b6c0f156eecf9662b9846d4eb693.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ccd4fd4b7a4d6b8ca0c5827c055a9ce7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c84cc0199a2e38ce212630a736923203.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/18/855c2ab2-ef29-48a5-aaa5-46689340ff22.png?resizew=146)
(1)求正四棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80c753cb1eb73fd8d136d00462970797.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
(2)求直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/85c4bdfb0db1e31e8459df1d15f9ab55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80f747eb5b2d21c9de962cbfd4ec4bb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
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解题方法
4 . 正方体
中,
为
中点,则
所成的角为______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad056c25c0fdcbcc765eb5cbc6093f2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a773f779cd892616a4ff68d3715f173.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49a94c60b5b1f33dede58980bc426ecb.png)
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2023-02-07更新
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102次组卷
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3卷引用:上海市市北中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题
上海市市北中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题上海市高桥中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(已下线)专题07 空间向量与立体几何(九大题型+优选提升题)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(沪教版2020选择性必修,上海专用)
解题方法
5 . 如图,正四棱锥
的底面边长为2,侧棱长是
,点
为侧棱
上的点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/4/e99fb323-5de7-42dc-9790-5e51e6c4b148.png?resizew=147)
(1)求正四棱锥
的体积;
(2)若
平面
,求二面角
的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱
上是否存在一点
,使得
平面
.若存在,求
的值;若不存在,试说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/faeb97acf19bd3b2c6c77c2814df4d2f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/95bacae35b6e16a0a33c2bdc6bc07df7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/defa5b53043ae802bb1af7d14374406d.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/4/e99fb323-5de7-42dc-9790-5e51e6c4b148.png?resizew=147)
(1)求正四棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/faeb97acf19bd3b2c6c77c2814df4d2f.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5fb2e071d4e01107dcf7d95cbb86b415.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0628681907ac8d7fdb94d8bc1b15feb9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc9f1e2b86f4eca37c72011d3dffb0c9.png)
(3)在(2)的条件下,侧棱
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c2bc5e50b8dfa02601c70822252854a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c372d059202ec388960b125d4a87dc84.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0628681907ac8d7fdb94d8bc1b15feb9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9013fec36586592a57b9abfb6ce4ffa.png)
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解题方法
6 . 正方体
的棱长为2,
分别为
的中点,求:
(1)异面直线
与
所成的角;
(2)求点
到平面
的距离.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad056c25c0fdcbcc765eb5cbc6093f2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3894b14963a23472a0c3f7fbc56f41d.png)
(1)异面直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6aa2b5e09f8ec785c59900a529390a02.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15dc61d5de97b5a40be925b278ae494c.png)
(2)求点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1b412e8820f777aebec93eff8179cee.png)
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解题方法
7 . 如图,在正方体
中,点
为线段
的中点.设点
在线段
上,直线
与平面
所成的角为
,则
的取值范围是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d40b319212a7e7528b053e1c7097e966.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56f7ba05c54b3de1f4378f7c8eb58328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abd13974aebe38eb2a1d744a01ea5aa5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7935fe3125f247b7bea4f065ce9ad985.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b4179e1ab8705cf19ea7aaf48888843.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2023-02-03更新
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1461次组卷
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6卷引用:上海市上南中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题
上海市上南中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题(已下线)第3章 空间向量及其应用(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)(已下线)专题07 空间向量与立体几何(九大题型+优选提升题)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(沪教版2020选择性必修,上海专用)(已下线)第6章:空间向量与立体几何 章末检测试卷-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)第七章 立体几何与空间向量 第六节 利用空间向量求空间角与距离(B素养提升卷)福建省泉州市泉州科技中学2023-2024学年高二上学期第一次限时训练数学试题
名校
8 . 如图,在四棱锥
中,
底面
,四边形
为正方形,
,
分别为
,
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/780b3a06-1fcd-470a-b3bd-f56947538a23.png?resizew=165)
(1)求证:
平面
;
(2)若
,求直线
与平面
所成角.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0585b6c0f156eecf9662b9846d4eb693.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ccd4fd4b7a4d6b8ca0c5827c055a9ce7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0629ce42392a7fe9be21d25c39c3e64.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/780b3a06-1fcd-470a-b3bd-f56947538a23.png?resizew=165)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1eaa5e336f830a3e5cd60ff7a756f3ef.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7b7c83470489253394bd288d7c920df.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3f6967901d6c855864df01e7bf7a15c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411461db15ee8086332c531e086c40c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80f747eb5b2d21c9de962cbfd4ec4bb7.png)
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名校
解题方法
9 . 《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一,图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上,荒唐至极,但又会让你百看不腻,画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.此时,他既是画外的观看者,也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现,后称“埃舍尔多面体”(图2)
,
的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为
,将极点
,分别与正方形
的顶点连线,取其中点记为
,
,
,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥
与![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3515ff4df04d24912acbf35d327e1f8.png)
与
成角余弦值;
(2)求平面
与平面
的夹角正弦值;
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36134f01da0f13b340e82e8835324f25.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/750335e0a1896eb270407e86335a85a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee1c51f15c934050099b460b19a04f4b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9195bc5917cc0dcef221f17561d1cdc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5bf350a619ef25d8d9b988f3db804e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fcf04ce32f61841d7dd7ba2010179c9d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f98919caa820f523b912d1e2385dbeb0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9c07e9dd9f26355b4de9a4e3e353bdee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76269a5843b60ca3f361ca5510f1b9ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3515ff4df04d24912acbf35d327e1f8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ff64e3c1ca2c71aa14f1786c72993ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41264a5ce05a6cf424fb63ac6ccf42e1.png)
(2)求平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/948272ac8389de36ff0a1bed7b76ac5a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ee63e2e78d42068eda47e947612829c.png)
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
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2023-01-18更新
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1077次组卷
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11卷引用:上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)第3章 空间向量及其应用(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)(已下线)期末真题必刷压轴60题(22个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)专题07 空间向量与立体几何(九大题型+优选提升题)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(沪教版2020选择性必修,上海专用)(已下线)期末真题必刷压轴60题(23个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点6 空间交叉图形公共部分体积的计算【培优版】(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点3 跨学科交汇问题综合训练【培优版】
名校
10 . 如图,在三棱柱
中,底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,侧面
为菱形,点
在底面上的投影为AC的中点D,且
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/20/453d1950-317a-4dd3-8175-4fde1a3d3ca0.png?resizew=183)
(1)若M、N分别为棱AB、
的中点,求证:
;
(2)求点C到侧面
的距离;
(3)在线段
上是否存在点E,使得直线DE与侧面
所成角的正弦值为
?若存在,请求出
的长;若不存在,请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ac61c24f99a4e466f1e2ea011893866.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a18722354086c42e62334983fc50eb6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fcd0ced286a0fbc7e4862f8147264277.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/20/453d1950-317a-4dd3-8175-4fde1a3d3ca0.png?resizew=183)
(1)若M、N分别为棱AB、
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56f7ba05c54b3de1f4378f7c8eb58328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf4169667e0dd7c8b5824295177edb1b.png)
(2)求点C到侧面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9edc50f7febbc2d5d8dcdc23a3630a7.png)
(3)在线段
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11ddc92d84d188c66b435664a7e7b5a4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9edc50f7febbc2d5d8dcdc23a3630a7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e27511b095e8e96719af8bc9a7412ac1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ce1b066f8869d0ff4513f7a99745125.png)
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2023-01-15更新
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1960次组卷
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4卷引用:上海市华东师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
上海市华东师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)期末真题必刷基础60题(35个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)专题6 第3讲 立体几何中的向量方法(已下线)第02讲:空间向量与立体几何交汇(必刷6大考题+7大题型)-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习(人教A版2019选择性必修第一册)