1 . 设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）

3 . 在长方体中，，，，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点可用有序数组表示．空间中任意一点可用有序数组表示，定义空间中两点，的距离．

(1)若点为边（含端点）上的动点，证明：为定值；
(2)，，为空间中任意三点，证明：；
(3)若，，其中、、，求满足的点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．

5 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.

(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；
②.

7 . 已知椭圆的上、下顶点分别为椭圆上的点到直线的距离和其与的左焦点的距离之比始终为为上一点，直线分别交于记，的面积分别为.
(1)求；
(2)若和的横坐标异号，，求的面积.