1 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当线段的中点的纵坐标为3时，求直线的斜率．

2 . 已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于A，B两点.当直线经过点时，点A恰好为线段PF的中点.
(1)求的方程；
(2)是否存在定点T，使得为常数?若存在，求出点T的坐标及该常数﹔若不存在，说明理由.

3 . 已知为坐标原点，过点的圆与直线：相切，设圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积.

4 . 已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．

5 . 已知抛物线：（）的焦点关于抛物线的准线的对称点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，为坐标原点，记的面积为，求证：.

6 . 已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标．

7 . 已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N点，且MN的中点坐标为，求的面积．

8 . 已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程．

9 . 已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．

10 . 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．