1 . 求满足下列条件的曲线的方程：
（1）离心率为，长轴长为8的椭圆的标准方程；
（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.

2 . 如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M.

（1）求点M的轨迹方程；
（2）若直线l与曲线交于A，B两点，且以为直径的圆恒过坐标原点O，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

4 . 已知圆和点，动圆经过点，且与圆内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；
（2）设点关于点的对称点为，直线与轨迹交于、两点，若的面积为，求的值.

5 . 如图，，为椭圆的左右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”，直线与椭圆交于，两点，，两点的“椭点”分别为，，已知以为直径的圆经过坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

6 . 已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线与x轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为，则C的方程为_______．

7 . 已知椭圆长轴长为6，点和点中有且只有一个点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆短轴（不包括端点）上一点作斜率为和的两条直线和分别交椭圆于，和，，若，求的值．

8 . 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

9 . 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为2时，求的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得为等腰三角形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.