1 . 求满足下列条件的曲线的方程：
（1）离心率为，长轴长为8的椭圆的标准方程；
（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.

2 . 已知椭圆上的点到左右两个焦点，的距离之和等于4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M，N两点，点，求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别是和，点在椭圆上，且的周长是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的方程．

4 . 已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，椭圆C另一个焦点是F₁，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点，且与椭圆C交于P，Q两点，求的内切圆面积的最大值.

5 . 已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；
（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.

6 . 已知椭圆：过点和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于两个不同点、，已知关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，若，，三点共线，试问直线是否经过定点，如果是，求出该点；否则，说明原因.

7 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的左､右焦点，分别作斜率为1的两条直线，这两条直线之间的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，直线与(为坐标原点)平行且与交于，两点，求面积的最大值.

8 . 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

9 . 椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．

10 . 已知椭圆，过坐标原点且斜率为的直线l被椭圆截得的弦长为，且椭圆C的短轴长为2．
（1）椭圆C的标准方程；
（2）设E为椭圆C上任意一点，过焦点，的弦分别为EM，EN，设，，问是否为定值，如果为定值求出该值，如果不是请说明理由．