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解题方法
1 . 如图，已知
为二次函数
的图像上异于顶点的两个点，曲线
在点处的切线相交于点
.
(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：
成等差数列，
成等比数列；
(3)设抛物线焦点为
，过
作
垂直准线
，垂足为
，求证：
.
为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线
上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：
成等差数列，成等比数列；(3)设抛物线
焦点为，过作垂直准线，垂足为，求证：.
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名校
2 . 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
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3 . 已知抛物线Γ的准线方程为
.焦点为
.
（1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标
都满足方程：
（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于
轴的直线与抛物线交于
两点，求线段
的中点
的轨迹方程.
.焦点为.（1）求证：抛物线Γ上任意一点
的坐标都满足方程：（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于
轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.
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2019-12-31更新
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349次组卷
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2卷引用：上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
4 . 在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.
(1)当
时，求曲线K的轨迹方程;
(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若
且直线
与直线
交于Q点.求证: 
为定值：
(3)若
且点 D，E在y轴上，
的内切圆的方程为
求面积的最小值.
中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.(1)当
时，求曲线K的轨迹方程;(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若
且直线与直线交于Q点.求证: 为定值：(3)若
且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 如图，已知抛物线
，其焦点为，其准线与轴交于点
，以
为直径的圆交抛物线于点
，连接
并延长交抛物线于点
，且
．
的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，
，使得
．求证：直线
过定点．
，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．
的方程．(2)过点
作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，
是平面内的动点，线段
的垂直平分线交轴于点
，交于点，且恰好在
轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点
的直线与曲线交于
两点，直线
与直线分别交于点
，设线段的中点为
，求证：点在曲线上．
中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程(2)过点
的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．
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7 . 已知抛物线C：
（
）的焦点为F，直线
与C交于A，B两点，
．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
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名校
解题方法
8 . 已知平面上一动点到定点
的距离比到定直线
的距离小
，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点
为上的两个动点，若
恰好为平行四边形
的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为
，求证：
.
到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.(1)求
的方程；(2)点
为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.
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2024-04-03更新
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1385次组卷
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4卷引用：2024届辽宁省名校联盟高考模拟卷（调研卷）数学试题（一）
2024届辽宁省名校联盟高考模拟卷（调研卷）数学试题（一）（已下线）专题8.4 抛物线综合【八大题型】辽宁省八市八校2024届度高三第二次联合模拟考试数学试题（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-1
2024高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知M（4，m）是抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点，且M到C的焦点的距离为5.
(2)如图，过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设
，
，求证：λ＋μ是定值．
(2)如图，过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设
，，求证：λ＋μ是定值．
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解题方法
10 . 在平面直角坐标系中，动点
到点
的距离比到直线
的距离小1．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知直线过点
，与轨迹交于，两点．求证：直线
与直线
的倾斜角互补．
中，动点到点的距离比到直线的距离小1．(1)求点
的轨迹的方程；(2)已知直线
过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补．
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