名校
解题方法
1 . 已知点
，直线
，
为
轴右侧或轴上动点，且点到
的距离比线段
的长度大1，记点的轨迹为
.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线
交曲线于
，
两点（点在点的上方），
，
为曲线上两个动点，且
，求证：直线
的斜率为定值.
，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.（1）求曲线
的方程；（2）已知直线
交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
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2021-05-28更新
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1820次组卷
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8卷引用：四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题
四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题（已下线）3.3 抛物线-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）3.3抛物线（A 基础培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题21 圆锥曲线综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）2023版 北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第二章 第四节 课时2 直线与圆锥曲线的综合问题抛物线的综合问题四川省泸县第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文）试题四川省泸县第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题
2 . 已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线
与抛物线交于
，
两点，且以线段
为直径的圆过原点
，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．
上的点到焦点的距离为4．(1)求抛物线
的标准方程；(2)若直线
与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．
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2023-01-10更新
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540次组卷
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5卷引用：陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第四次校际联考理科数学试题
3 . 如图，在平面直角坐标系中，
和
是
轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为
的直线与抛物线
交于
两点，且
．为的焦点，求证：
；
(2)过点作轴的垂线，垂足为
，若
，求直线的方程．
和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
为的焦点，求证：；(2)过点
作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
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2024-06-03更新
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506次组卷
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3卷引用：山西省临汾市2024届高三下学期考前适应性训练(三)数学试题
名校
解题方法
4 . 在直角坐标系
中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当
时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线
分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当
时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
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2023-02-19更新
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544次组卷
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6卷引用：广西柳州市、梧州市2023届高三2月大联考数学（文）试题
5 . 已知抛物线
上的点
到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过抛物线上一点P作圆
的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆
相切．
上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．(1)求抛物线
的标准方程；(2)过抛物线
上一点P作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆相切．
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名校
解题方法
6 . 如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象．已知细绳长度为
，经测量，当笔尖运动到点处，此时，
，
．设直尺边沿所在直线为
，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线的方程；
(2)斜率为
的直线过点
，且与曲线交于不同的两点
，已知的取值范围为
，探究：是否存在
，使得
，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象．已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，．设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求曲线
的方程；(2)斜率为
的直线过点，且与曲线交于不同的两点，已知的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
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2023-09-10更新
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507次组卷
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10卷引用：广西桂林市、崇左市2023届高三一模数学（理）试题
广西桂林市、崇左市2023届高三一模数学（理）试题山西省太原市第五中学2023届高三一模数学试题（AB卷）（已下线）专题16解析几何（解答题）广西玉林市博白县中学2023届高三"逐梦高考"数学（理）模拟测试试题（二）辽宁省沈阳市第二中学2023届高三第五次模拟考试数学试题广西壮族自治区防城港市2023届高三下学期4月第三次联合调研考试数学（理）试题（已下线）专题突破卷23 圆锥曲线大题归类（已下线）考点19 解析几何中的探索性问题 2024届高考数学考点总动员【练】黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）专题08 抛物线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）
7 . 已知抛物线
的焦点为，，，为上不重合的三点.
(1)若
，求
的值；
(2)过，两点分别作的切线
，
，与相交于点，过，两点分别作，的垂线
，
，与相交于点.
（i）若
，求
面积的最大值；
（ii）若直线过点
，求点的轨迹方程.
的焦点为，，，为上不重合的三点.(1)若
，求的值；(2)过
，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点.（i）若
，求面积的最大值；（ii）若直线
过点，求点的轨迹方程.
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名校
解题方法
8 . 已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点与圆
的圆心重合，为上一动点，点
. 若
的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过焦点的直线与抛物线和圆自上而下依次交于
四点，且满足
， 求直线的方程.
的顶点在坐标原点，焦点与圆的圆心重合，为上一动点，点. 若的最小值为2.(1)求抛物线
的标准方程;(2)过焦点的直线
与抛物线和圆自上而下依次交于四点，且满足， 求直线的方程.
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名校
解题方法
9 . 已知点为抛物线的焦点，点
在抛物线上，且
.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与
，记
的面积分别为
，求
的最小值.
为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线
的方程；(2)过点
分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
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2023-03-26更新
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652次组卷
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5卷引用：江西省部分学校2023届高三联考数学（文）试题
江西省部分学校2023届高三联考数学（文）试题（已下线）专题14圆锥曲线中的最值、范围、探索问题（已下线）3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）（3种题型分类基础练+能力提升练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）2.7.2 抛物线的几何性质（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）湖南省常德市汉寿县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
名校
10 . 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
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