名校
解题方法
1 . 已知双曲线
的一条渐近线为
，实轴长为
，
为
上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)（i）证明：直线
与双曲线相切于点
；
（ii）若直线
与双曲线相切，
为双曲线的右焦点，且
，试判断点
是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
的一条渐近线为，实轴长为，为上一点.(1)求双曲线
的方程；(2)（i）证明：直线
与双曲线相切于点；（ii）若直线
与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且，试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
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2 . 已知平面直角坐标系
中，有真命题：函数
的图象是双曲线，其渐近线分别为直线
和y轴．例如双曲线
的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点
顺时针旋转
得到双曲线
的图象．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)已知曲线
，过
上一点
作切线分别交两条渐近线于
两点，试探究
面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
(3)已知函数
的图象为Γ，直线
，过
的直线与Γ在第一象限交于
两点，过作
的垂线，垂足分别为
，直线
交于点
，求
面积的最小值．
中，有真命题：函数的图象是双曲线，其渐近线分别为直线和y轴．例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象．(1)求双曲线
的离心率；(2)已知曲线
，过上一点作切线分别交两条渐近线于两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数
的图象为Γ，直线，过的直线与Γ在第一象限交于两点，过作的垂线，垂足分别为，直线交于点，求面积的最小值．
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3 . 设双曲线
，直线
与交于两点.
(1)求
的取值范围；
(2)已知上存在异于的
两点，使得
.
（i）当
时，求到点
的距离（用含的代数式表示）；
（ii）当
时，记原点到直线
的距离为
，若直线经过点
，求的取值范围.
，直线与交于两点.(1)求
的取值范围；(2)已知
上存在异于的两点，使得.（i）当
时，求到点的距离（用含的代数式表示）；（ii）当
时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围.
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2024-05-08更新
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1164次组卷
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2卷引用：浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题
4 . 已知双曲线
，直线
与双曲线交于两个不同的点A，B，直线
与直线交于点.
(1)求证：点是线段AB的中点；
(2)若点A，B两点分别在双曲线两支上，求
的面积的最小值(其中是坐标原点).
，直线与双曲线交于两个不同的点A，B，直线与直线交于点.(1)求证：点
是线段AB的中点；(2)若点A，B两点分别在双曲线两支上，求
的面积的最小值(其中是坐标原点).
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2024-05-08更新
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845次组卷
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2卷引用：辽宁省2024届高三下学期二轮复习联考（二）数学试题
2024·全国·模拟预测
5 . 已知双曲线
过点
（其中
），且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为
为双曲线上一动点（异于顶点），为线段
的中点，
为直线
上一点，且
，过点作
于点，求
面积的最大值.
过点（其中），且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)记
为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点（异于顶点），为线段的中点，为直线上一点，且，过点作于点，求面积的最大值.
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6 . 已知A，B分别为双曲线
的左，右顶点，四点
中恰有三点在双曲线E上．若P为直线
上的动点，
与E的另一交点为
与E的另一交点为D．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)过点B作
于点Q，是否存在定点G，使得
为定值．
的左，右顶点，四点中恰有三点在双曲线E上．若P为直线上的动点，与E的另一交点为与E的另一交点为D．(1)求双曲线E的方程；
(2)若
，求直线的方程；(3)过点B作
于点Q，是否存在定点G，使得为定值．
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解题方法
7 . 双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过的直线与双曲线的右支交于
，
两点（其中点在第一象限）．设
，
的内切圆半径为
，
，则
的取值范围是（ ）
的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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8 . 已知直线
与曲线
．
(1)若与交于
，两点，点
，直线
与
的斜率之积为1，证明：直线过定点；
(2)若与相切于点，过点且与垂直的直线分别交
轴、
轴于
，
两点，求
的最小值．
与曲线．(1)若
与交于，两点，点，直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点；(2)若
与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，求的最小值．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
9 . 已知双曲线
的离心率为
，且点
在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过点
的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线
与
的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
的离心率为，且点在双曲线上．(1)求双曲线
的标准方程．(2)过点
的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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解题方法
10 . 已知双曲线
的左焦点为，为坐标原点，
，线段
的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若
，则
的周长为______ .
的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为
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