1 . 已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.

2 . 已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）
(1)当时，判断四边形的形状；
(2)设为坐标原点，证明：为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．

3 . 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．

4 . 已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．
(1)求双曲线的方程；
(2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值．

5 . 已知直线，，动点满足，且到和的距离之积为.
(1)求的轨迹的方程；
(2)已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值.

6 . 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值；
(3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值．

7 . 已知双曲线，，设点在上，点为坐标原点.
(1)若，求的最小值；
(2)设点在上，直线、分别与相切于点，对于给定的、，在以下结论中选择一个正确的结论（多选的按第一个给分），并加以证明：
①和的面积之和为定值；
②和的面积之差的绝对值为定值；
③直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为定值.

8 . 已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.

9 . 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于（为坐标原点），则（       ）

A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条

B．的最小值为

C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为

D．过作轴垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于，则（为直线斜率，为直线斜率）

10 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是，且的离心率是.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是上位于第一象限的一点，点、关于原点对称，点、关于轴对称.延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：不可能是的三等分线.