1 . 已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

3 . 已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．

6 . 双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若在第一象限，证明：.

7 . 如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）（i）证明：；
（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知为椭圆和双曲线的公共顶点，过原点的直线分别与椭圆和双曲线在第一象限交于两点．
（1）若椭圆的离心率为，求双曲线的渐近线方程；
（2）设的斜率分别为，求证：；
（3）设分别为椭圆和双曲线的右焦点，若∥，试求的值．

9 . 已知椭圆和双曲线，点，为椭圆的左，右顶点，点在双曲线上，直线与椭圆交于点（不与点，重合），设直线，，，的斜率分别为，，，.
（1）求证：；
（2）求证：的值为定值.

10 . 已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.
（1）求轨迹的方程；
（2）求斜率的取值范围；
（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.