名校
1 . (1)已知k,,且,求证:;
(2)若,且,证明:;
(3)设数列,,,…,是公差不为0的等差数列,证明:对任意的,函数是关于x的一次函数.
(2)若,且,证明:;
(3)设数列,,,…,是公差不为0的等差数列,证明:对任意的,函数是关于x的一次函数.
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2 . 已知函数().
(1)指出的单调区间;(不要求证明)
(2)若,,,满足,,,且(,,),求证:;
(3)证明:当时,不等式()对任意恒成立.
(1)指出的单调区间;(不要求证明)
(2)若,,,满足,,,且(,,),求证:;
(3)证明:当时,不等式()对任意恒成立.
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名校
解题方法
3 . 基本不等式可以推广到一般的情形:对于个正数,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;②为单调数列,则称数列具有性质.
(1)若,求数列的最小项;
(2)若,记,判断数列是否具有性质,并说明理由;
(3)若,求证:数列具有性质.
(1)若,求数列的最小项;
(2)若,记,判断数列是否具有性质,并说明理由;
(3)若,求证:数列具有性质.
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2024-02-21更新
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2737次组卷
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5卷引用:安徽省部分省示范高中2024届高三开学联考数学试卷
2024高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 已知.
(1)设展开式中项的系数为,求;
(2)设展开式中项的系数为,求证;
(3)是否存在常数使对一切恒成立?
(1)设展开式中项的系数为,求;
(2)设展开式中项的系数为,求证;
(3)是否存在常数使对一切恒成立?
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5 . 组合数有许多丰富有趣的性质,例如,二项式系数的和有下述性质:.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质,请帮他完成下面的探究.
(1)计算:,并与比较,你有什么发现?写出一般性结论并证明;
(2)证明:
(3)利用上述(1)(2)两小问的结论,证明:.
(1)计算:,并与比较,你有什么发现?写出一般性结论并证明;
(2)证明:
(3)利用上述(1)(2)两小问的结论,证明:.
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昨日更新
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314次组卷
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2卷引用:江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
解题方法
6 . 欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数,集合,欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数;记表示x除以y的余数(x和y均为正整数),
(1)求和;
(2)现有三个素数p,q,,,存在正整数d满足;已知对素数a和,均有,证明:若,则;
(3)设n为两个未知素数的乘积,,为另两个更大的已知素数,且;又,,,试用,和n求出x的值.
(1)求和;
(2)现有三个素数p,q,,,存在正整数d满足;已知对素数a和,均有,证明:若,则;
(3)设n为两个未知素数的乘积,,为另两个更大的已知素数,且;又,,,试用,和n求出x的值.
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7 . 我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为,观察题图可知,相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的,其余的数都等于它肩上的两个数相加.(1)用公式表示出题目中叙述的规律,并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由.
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8 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,),例如:,对应.现对任意,定义莫比乌斯函数
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
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2024-04-07更新
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880次组卷
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3卷引用:湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
2024高二下·全国·专题练习
9 . (l)当,时,证明:.
(2)当,时,证明:.
(2)当,时,证明:.
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解题方法
10 . 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象,设棱长为,若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,定义随机变量的值为其三角形的面积;若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条,定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制);若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条,定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).
(1)比较三种随机变量的数学期望大小;(参考数据)
(2)现单独研究棱长,记(且),其展开式中含项的系数为,含项的系数为.
①若,对成立,求实数,,的值;
②对①中的实数,,用数字归纳法证明:对任意且,都成立.
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