1 . 概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．

2 . 、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（       ）

A．，	B．，
C．，	D．，

3 . 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．
(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．

4 . 为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．

5 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（       ）（附：若，则，，）

A．0.1587

B．0.0228

C．0.0027

D．0.0014

6 . 已知随机变量，二项式，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．二项式的展开式中所有项的系数和为256

C．二项式的展开式中含项的系数为252

D．的展开式中含项的系数为5418

7 . 2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.

8 . 牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：

牛排种类	菲力牛排	肉眼牛排	西冷牛排	T骨牛排
数量/盒	20	30	20	30

(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．

9 . Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 在某独立重复试验中，事件相互独立，且在一次试验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次试验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为.则下列说法正确的是（       ）

A．	B．
C．	D．