1 . 我们把
（其中
）称为一元
次多项式方程.代数基本定理：任何一元
次复系数多项式方程（即
为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即
，其中
，
为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式
必可分解因式.例如：观察可知，
是方程
的一个根，则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
.
(1)在复数集内解方程：
；
(2)设
，其中
，且
.
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点.求证：当
时，
.
（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.(1)在复数集内解方程：
；(2)设
，其中，且.（i）分解因式：
；（ii）记点
是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.
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2 . 阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数，满足
的所有复数
称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数
，都有
，则称这种复数为次本原单位根．例如，
时，存在四个4次单位根
，
，因为
，
，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为
，则多项式
称为次分圆多项式，记为
；例如
；
回答以下问题：
(1)直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
(2)求出
，并计算
，由此猜想
的结果，（将结果表示为
的形式）（猜想无需证明）；
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为
，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为
，复平面上一点
所对应的复数
满足
，求
的取值范围．
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数
，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；②分圆多项式：对于正整数
，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；例如；回答以下问题：
(1)直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
(2)求出
，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为
，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
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名校
3 . 设复数
是关于
的方程
的一个根，则（ ）
是关于的方程的一个根，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-04-12更新
|
1360次组卷
|
2卷引用：湖北省八市2024届高三下学期3月联考数学试卷
名校
解题方法
4 . 已知
是关于的方程
（p，
）的一个根，则
（ ）
是关于的方程（p，）的一个根，则（ ）| A．0 | B． | C．2 | D．1 |
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2024-01-17更新
|
479次组卷
|
2卷引用：湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题
5 . 已知复数满足
，则
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2023-07-29更新
|
506次组卷
|
3卷引用：湖北省武汉市江汉区2024届高三上学期7月新起点摸底考试数学试题
湖北省武汉市江汉区2024届高三上学期7月新起点摸底考试数学试题广东省惠州市惠东县惠东荣超中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）7.2.2复数的乘、除运算【第一练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
22-23高一下·湖北·期末
名校
6 . 已知
（全体复数集），关于的方程
的两根分别为
，
，若
，则
的可能取值为（ ）
（全体复数集），关于的方程的两根分别为，，若，则的可能取值为（ ）A． | B． | C．0 | D．4 |
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名校
7 . 若
，
是关于的方程
的两个虚根，则（ ）
，是关于的方程的两个虚根，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-07-14更新
|
198次组卷
|
3卷引用：湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
名校
8 . 已知复数，，
是方程
的三个解，则下列说法正确的是（ ）．
，，是方程的三个解，则下列说法正确的是（ ）．A． | B． |
| C．，，中有一对共轭复数 | D． |
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名校
9 . 已知复数
．
(1)若
，求实数的取值范围；
(2)若
是关于的方程
的一个根，求与的值．
．(1)若
，求实数的取值范围；(2)若
是关于的方程的一个根，求与的值．
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解题方法
10 . 已知
是关于的方程
的一个根，则______ .
是关于的方程的一个根，则
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