1 . 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.

2 . 已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：.
(2)当时，求证：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

3 . （1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：

5 . 已知数列的前项积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)证明：.

6 . 已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.

7 . 在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．

8 . 已知函数.
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)若，且，，都为正数，求证：.

9 . 证明：已知数列满足：，求证：数列单调递增，而数列单调递减．

10 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．