1 . 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

2 . 已知数列的各项均为正整数，对于，有
当时，______；
若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______．

3 . 数列满足，，其中，．
①当时，_____；
②若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_____.

4 . 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
（1）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（2）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；
（3）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．

5 . 已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．
（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．

6 . 设数列 中，若 ，则称数列为“凸数列”．
（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若 ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（Ⅱ）在“凸数列”中，求证： ；
（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前n项和 ．

7 . 若有穷数列满足：（1）首项，末项，（2） 或，（），则称数列为k的m阶数列．
（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；
（Ⅱ）设数列是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值．

8 . 已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）²>（ax）²的解集中的整数恰有3个，则

A．－1<a<0

B．0<a<1

C．1<a<3

D．3<a<6

9 . 已知数列中，，，
（I）求证数列是等差数列；
（II）试比较与的大小；
（III）求正整数，使得对于任意的正整数恒成立．

10 . 已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；
（Ⅲ）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．