1 . 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ）

A．若n为质数，则	B．数列单调递增
C．数列的最大值为1	D．数列为等比数列

2 . 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
(3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．

3 . 对于数列，及常数p，若满足，且，则称对关于p耦合．
(1)若对关于0耦合，且，，求；
(2)若对关于1耦合，且，求，的通项公式；
(3)若存在，，使得对关于耦合，且对关于耦合，证明：，．

4 . 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．

5 . 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（       ）

A．

B．四面体的体积为

C．当时，点的轨迹长度为

D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为

6 . 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.

7 . 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
(1)判断是否为数表，并求的值；
(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意数表，存在，使得．

8 . 已知数列为公差为的等差数列，为公比为的正项等比数列.记，，，，则（       ）
参考公式：

A．当时，	B．当时，
C．	D．

9 . 定义集合，设中所有元素的和为，则下列命题正确的有（       ）

A．存在两个不同的使得中仅有一个元素

B．中元素的最大值与最小值之和为

C．在上不单调

D．当时，恒成立

10 . 设的内心为点与的外接圆的另一交点为点.
(1)证明：；
(2)若，且的三边成等差数列，求.